20橙啦考研数学终极预测卷二解析

橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 2020 年全国硕士研究生招生考试数学终极预测 （二）参考答案（未必是最优解法，以课堂讲授为 准） 本试卷满分 150 分，考试时间 180 分钟，命题人：边一 一、 选择题： 18 小题， 每小题 4 分， 共 32 分， 下列每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. 1. 【答案】 ： （D） 【解析】 ：分母不为零，故0；又0)(lim= xf x ，故0k选（D） 2、 【答案】 ： （A） 【解析】 ：因为1)()( 2 +xfxf，所以01 )(1 )( 2 + + xf xf ，即. 0)(arctan+ xxf 记xxfxF+=)(arctan)(，从而0)( x F，)(xF在),(ba内单调递增. 又bxFaxF bxax +=+= + 2 )(lim, 2 )(lim ，所以ba+ 22 ，故ab. 3、 【答案】 （A） 【详解】 因为),(yxf在D上连续， 所以),(yxf在D上一定取到最大值与最小值， 不妨设 ),(yxf在D上的最大值M在D内的点),( 00 yx处取到，即0),( 00 = Myxf，此时 0 ),(),( 0000 = = yxyx y z x z ，这与0= + z y z x z 矛盾，即),(yxf在D上的最大值M不可 能在D内取得，同理),(yxf在D上的最小值m不可能在D内取得，选（A）. 4、【答案】 （B） 【解析】 ：)( 1 xy、)( 2 xy能构成该方程的通解，需)( 1 xy与)( 2 xy线性无关.由（B）知 )( )( )( )( 1 1 2 2 xy xy xy xy ，即Cxyxy+)(ln)(ln 12 ，从而 )( )( 1 2 xy xy 不为常数，即)( 1 xy与)( 2 xy 线性无关，因此应选（B）. 5、 【答案】 ： （C） 【分析】：本题实际上是对矩阵是否可交换的考查，综合运用上述结论. 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 【解析】 ：由于A与E可交换，可知A+E与A-E可交换，进而() 2 A+E与A-E也可交 换，故（A）中的等式是成立的.考生也可以自行利用矩阵乘法的相关运算法则检验该等式. 由于()()()()+AEAE = AEAE， 等式两边同时左乘() -1 A+E再右乘() -1 A+E可 得() ()()() -1-1 A+EA-E = A-EA+E，可知（B）中的等式是成立的. 由等式()()()()+ = 两边同时左乘() -1 A-E再右乘() -1 A-E可得 ()()() () -1-1 A+EA-E= A-EA+E，再同时乘以A-E即得 ()()() () * A+EA-E= A-EA+E，可知（D）中的等式是成立的. 这样，唯一可能不成立的只有（C）中的等式，故选（C）. 事实上，() () T TT A+EA-E = A A+A-A -E，()() T TT A-EA+E= AA +A-A -E， 要使() ()()() TT A+EA-E = A-EA+E，则有 TT A A = AA. 而该等式不一定成立，如令 01 00 = A，则有 0010 , 0100 = TT A AAA，可知 TT A AAA. 6、 【答案】 ： （C） 【解析】 ： 因为( )() T r Br BBn=，由此知行列式| 0 T BB，命题不成立； 由于两个同阶矩阵等价的充要条件是秩相等，因此 T BB与单位阵等价，命题成立； 由于 T BB是实对称矩阵，所以必与对角矩阵相似，命题成立； 对于0,() n m xr Bn =由， 知0 T B x ， 于是()()0 TTTTT B xB xxBBx=， 可见 T BB为 正定矩阵，因此必与单位矩阵合同，命题成立.故应选（C）. 7（数一、三做） 、 【答案】 ： （D） 【解析】 ：设标准正态分布的分布函数为( )x，则 ()()()(),min,min,F x yP Xx YyP Xx XyP Xx yx y=， 现()()() 1 ,min, 2 F a ba b= =，故()min,0a b =. 7（数二做） 【答案】 ： （B） 【分析】 ：利用微分方程可求(0),(0)(0)fff及等，从而确定0 x =是否为极值点或 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 (0,(0)f是否为拐点. 【解析】 ：由 22 00 ( ),( )sin()sin xx yxyg xg xxtdtu du= ，知(0)0g=，从而 (0)0y=. 又由方程( )yxyg x=两边同时求导可得 2 ( )sinyyxyg xx=。 将0,1,0 xyy=代入可得(0)1y=，可知( )f x在点0 x =处( )f x取极小值。 8（数一、三做） 【答案】 ： （A） 【解析】 ：因()3,4XF，故() 1 4,3F X . 11 1P XxP Xx = ，所以() 1 1 4,3F x =，则 () 1 1 4,3 x F =. 8（数二做） 【答案】 ： （D） 【解析】 ： 由于Cdxxf= + )(，又( )f x为偶函数，应有xxfCd )(2 0 =， 即 2 d )( 0 C xxf= ，则xxf C xxfxxfxxfaF aaa d )( 2 d )(d )(d )()( 00 0 +=+= 其中xxfttfxxf aa tx a d )()d( )(d )( 000 = = ， 所以xxf C aF a d )( 2 )( 0 =.故应选 （D） . 二、填空题：914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. 9、 【答案】 ：1 【解析】 ： 由于nnn 222 cos1cos2sin+=+，所以2cos2sin1 22 +nn， n n nn 1 2)cos2(sin1 1 22 +，而12lim 1 = n n ，故由夹逼原则知， n n nn 22 cos2sinlim+ =1. 10、 【答案】 ： 8 . 【分析】 ：先求出( )f x再积分，这是基本思路，但求( )f x 显然是十分繁杂的，可直接分部积分，然后利用( )fx的 信息进行计算. 【解析】 ： 11 1 0 00 ( )( )|( )f x dxxf xxfx dx= 1 2 0 0( )2f xxxdx =+ 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 11 2 00 ( )2f x dxxx dx= 于是 11 2 00 1 ( )2 2 f x dxxx dx= 由定积分的几何意义（如图）知， 1 2 0 2 4 xx dx = . 故 1 0 ( ) 8 f x dx = . 11、 【答案】 ： 2 5 【解析】 ：0 ,0),(=yxyxD，,0| ),(yxxyxD= 由轮换对称性可得， = DD ydxdyxxdxdyyxyxsinsin2,maxsinsin 2 5 )cos1 (sin2 sinsin2sinsin2 0 0000 = = dxxxx ydyxdxxydyxxdx xx 12（数一、三做） 、 【答案】1 2ln2 【解析】 ()() 11 1 1 00 11 111 1 n n n axxdxtxtt dt nn = = + 令 = = + = = =+ = + + = 1 1 1 1 11 . 2ln211 ) 1( 2 1 ) 1() 1( ) 1( n n n n n n n n n nnn a 12（数二做） 、 【答案】 ： 2 2(2 ) xy x eexy +. 【解析】 ： 由题设 2 ( ,0)( ) x z xef xx =，有 2 ( ) x f xex =，因此， 22 (2 ) xy x zeexy =+ 从而 2 2(2 ) xy x z eexy x = + . 13、 【答案】 ： 121 12 12 4 , 2 kkk k kR kk + 【解析】 ：设矩阵 12 34 xx B xx = 与A可交换，则ABBA=，也即 13241212 13243434 25 252525 xxxxxxxx xxxxxxxx + = + 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 即 1312 2412 1334 2434 2 5 252 255 xxxx xxxx xxxx xxxx =+ = + +=+ += + ，整理得 23 124 134 23 20 40 2420 20 xx xxx xxx xx = = += += 求解该齐次线性方程组 02101401 14010210 20420000 02100000 求得其通解为 112 21 1212 31 42 441 10 , 220 01 xkk xk kkk kR xk xk + =+= 故 121 12 12 4 , 2 kkk Bk kR kk + = . 14（数一、三做） 、 【答案】 ： 1 1 2e 【解析】 ： 由题意得，( ) 1 ,02, 2 0,. x f x = 其他 ( ) ,0, 0,. y ey fy = 其他 ， 又X和Y相互独立， 故X和Y的联合概率密度为：() 1 ,02,0, ,2 0,. y exy f x y = 其他 . 所以， 11 00 11 1 =1111 22 x y P XYP XYdxe dy e += = . 14（数二做） 、 【答案】 ： 2 ) !50(. 【解析】 ：)100()2)(1()(=xxxxxf，则 )99() 1( )100() 1)(1() 1()100()2()100()2)(1()( + += xxx xkxkxxxxxxxxxxf 则)10050()5150)(4950() 150(50)50(=f； 故()2!50)50(= f . 三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本小题满分 10 分） 【答案】 ： 2 66)(xxxf+= 【解析】 ：函数的定积分与极限值都是常数，该题的本质就是要确定这两个常数. 解：易知0)0(=f，则)0( )0()( lim )( lim 00 f x fxf x xf xx = = ， 设 = 1 0 d)(ttfA，则 )0()( 2 fxxAxxf+= 对式两边从0到 1 积分得 )0( 3 2 1),0( 3 1 2 1 2 1 d )0( 1 0 2 fAfAtfttAtA+=+=+=即 再对式中两边求导，令0=x，得 Af+=1)0( 由，式得, 5, 6)0(=Af故 2 66)(xxxf+=. 16（本小题满分 10 分） 【解析】 ：dttxxF t2 e |)e1 ( 2 1 )( 1 1 1 += = ( + )+ ( ) + ( ) += 11 11 1 2222 eeee)e1 ( 2 1 x t x t x t x t dtxdttdttdtx 2222221 1 )( x x txxx x t xedtexexexedtexF += dtedte x t x t = 1 1 22 因为 2 t e在 R 上为偶函数，则dtedte x t x t = 1 1 22 . 故dtedtexF x t x x t = 0 22 2)(，可以看出)(x F 为奇函数，则)(xF为偶函数，并且在 )0 , 1上0)( x F，则)(xF在)0 , 1上单调递减；在(1 , 0上0)( x F，则)(xF在(1 , 0 上单调递增. 0 2 3 )1 ( 2 1 )0( 221 0 0 1 1 =+= e e dte tdte teF tt 0 2 5 2 3 2)1 ( 2 1 2)1 ( 2 1 ) 1 ( 1 0 1 1 0 1 2 =+= e dteedteeF tt )(xF在(1 , 0上单调递增，且0) 1 ()0(FF，由零点定理可得，)(xF在(1 , 0上有且仅有一 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 个零点。又因为)(xF为偶函数，则)(xF在)0 , 1上有且仅有一个零点。 综上所述，)(xF在 1 , 1上只有两个零点. 17（本小题满分 10 分） 【解析】 由 = 1 0 1 0 )()(dxxxfdxxf可得0)()1 ( 1 0 = dxxfx. 令 = x dttfxF 0 )()(，且有0)0(=F，则 += 1 0 1 0 1 0 d)( 0 1 )()1 (d )1 (d)()1 (xxFxFxF(x)xxxfx 0d)( 1 0 =xxF 由积分中值定理可得，存在) 1 , 0(，使得0)(=F，即= 0 0)(dxxf. 18（数二、三做，本小题满分 10 分） 【解析】 ： 3 4 24 原式yxxyyxxyyxxy yxxyxxyx dddddd 32 2 21 2 1 2 22222 + += . 3 4 24 dd2dddd 3 2 1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 222 = += +xxx yxyxyx 18（数一做，本小题满分 10 分） 【解析】 ： ( )cos( )cos, P yxyyx yy = ( )sin( )cos . Q yxyx xx = 因为( )y是抽象函数,所以碰到这类问题一般是加边使曲线封闭,再用格林公式,为此 AMBBABAAMBABA I =+= ()2 AMBA DD QP PdxQdydxdydxdy xy += (由题设) 因为:1, x BA y =+ 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 所以 3 1 (1)cos(1) (1)sin BA xxx xdxxdx =+ 2 33 1 (1)sin(1) 2 x xxx =+ 2 (1 3 ).=+ 故 2 22 (1 3 )6I=+= 19（数一、三做，本小题满分 10 分） 【解析】 2 ( )( ),( )( )cos2 ,( )( )cos2,( )sin2F xf x F x F xxF x F x dxxdx FxxC=+ 由(0)1F=，知1,( )1 sin2cossin,CF xxxx=+=+ 22 cossin cos2 ( )cossin ( )cossin xx x f xxx F xxx = + 4 00 4 ( )(cossin )(sincos )( 21)(12)2 2f x dxxx dxxx dx =+=+= 因为( )f x的周期为，则 00 ( )( )22,1,2, n n af x dxnf x dxnn = 于是， 22 22 2 2 11 nn n nn an xx nn = = ，其收敛域为 1,1) 当0 x 时，有 2 2213 111 ( )2()2() 111 nn nn n nnnn axx S xxxx nnnnxn = =+=+ + 且(0)0S=，又因为 1 ln(1), 11 n n x xx n = = ， 故当0 x 时， 22 11 ( )2ln(1)( ln(1)2(ln(1) 1) 22 xxx S xxxxxx xx + =+= + + 所以， 2 1 2(ln(1) 1),11 ( ) 2 0,0 xx xx S x x x + + + = = 19（数二做，本小题满分 10 分） 【解析】, 2 22 2 = y x f y x x y f x y yx z 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 ( ), 12 2 2 1 2 y y f y yf y yx z x = = = 从而有 43 1 2)(y y fyfy= + （1） 用 y 1 代替y，得 ( ) y yfy y f 1 2 1 3 = + （2） 由（1） （2）解得 33 2 )( 4 y y yf= 所以 21 3 2 189 1 )(CyC y y yf+= 其中 21,C C为任意常数. 20（本小题满分 11 分） 【解析】 分析：本题主要考查方阵相似对角矩阵的条件.用向量组线性无关的定义可证 ,线性无关；再由02 2 =+AA有非零解确定A的特征值，由于特征值各 不相同，故方阵A可对角化. 证明： （1）设 21,k k，使得0 21 =+kk，若00 12 =kk，而0，所以 0 1= k，若A= 2 1 2 0 k k k是A的特征向量，这与已知矛盾.综上，可得 0 21 = kk，所以,线性无关. （2）由()0202 22 =+=+EAAAA，因为0，所以齐次线性方程组 ()02 2 =+xEAA有非零解，于是有 002, 0202 2 =+=+=+EAEAEAEAEAA或即, 若02+ EA，则有()()(),002AEAEAEA=+即是A 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 的特征向量，这与已知矛盾，所以02=+ EA；同理可证0= EA，所以A有 两个不同的特征值12- 21 =，故A可相似对角化. 21（本小题满分 11 分） 【解析】 ：由条件知A的特征值为 2，-1，-1，则2A =，因为 * A的特征值为 A ，所以 * A 的特征值为 1，-2，-2，由已知，是 * A关于1=的特征向量，也就是是A关于2= 的特征向量.由 *2 11 111 222 AA AA = ，得() 1 1 2242ABAABEBEA =+=， 则B的特征值为-2,1,1，且2B= .设B关于1=的特征向量为 123 , T x xx=，又B 是实对称阵，与要正交，故 123 0 xxx+=，解出 12 1, 1,0,1,0,1 TT =，令 12 111 ,110 101 P = 则 1 2 1, 1 P BP = 1112111011 1 1101121101 3 1011112110 B = 故 121 323 222. T X BXx xx xx x= + 22（数一、三做，本小题满分 11 分） 【解析】 ： 随机变量 2 XY =的取值范围为)+, 0. 当0y时，0)(=yFY； 当10 y时，有 3 2 d)( 2 3 22 y ttyXyPyXPyYPyF y y Y = 当41 y时，有 橙啦，大学生学习成长平台 改变就橙啦 3 2 d01111)( 1 1 222 =+=+= ttXPyXPXPyFY； 当94 y时，有 4411)( 222 yXPXPXPyFY+= 20 3 2 yXP+= 33 2 3 2 d 3 1 3 2 2 yy t y = +=+= ； 当9y时，1)(=yFY. 综合上述讨论，可得 = . 9, 1 , 94, 3 , 41, 3 2 , 10, 3 2 , 0, 0 )( 2 3 y y y y y y y yFY 由此得 = ., 0 , 94, 6 1 , 10, )()( 其他 y y yy yFyf YY （2）)()()(),cov(YEXEXYEYX=)()()( 23 XEXEXE= + += x x xxx x xxx x xxd 3 dd 3 dd 3 d 3 2 2 1 1 4 3 2 1 1 3 3 2 3 1 1 5 108 359 =. 22（数二做，本小题满分 11 分） 【解析】 ： （1） t y ttx ty x y d d