多元复合函数与隐函数求导法则VIP

.,1,第三节,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,第八章,三、隐函数求导法则,.,2,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.若函数,处偏导连续,在点t可导,则复合函数,证:设t取增量t,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u,v,.,3,(全导数公式),(t0时,根式前加“”号),.,4,若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,.,5,推广:,1)中间变量多于两个的情形.,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.,例如,例如,.,6,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示f(x,(x,y)固定y对x求导,表示f(x,v)固定v对x求导,口诀:,与,不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,.,7,例1.设,解:,.,8,解,例2.求函数的偏导数.,令,则,.,9,例3.,解:,.,10,例4.设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,.,11,例5.设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解:已知,极坐标系下的形式,(1),则,.,12,题目,.,13,已知,注意利用已有公式,.,14,同理可得,题目,.,15,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,.,16,例6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,.,17,1、一个方程所确定的隐函数及其导数,2、方程组所确定的隐函数组及其导数,三、隐函数的求导方法,.,18,1、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.设函数,则方程,单值连续函数y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,.,19,两边对x求导,在,的某邻域内,则,.,20,例7.验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解:令,连续;,由定理1可知,导的隐函数,则,在x=0的某邻域内方程存在单值可,且,并求,.,21,.,22,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,.,23,两边对x求偏导,同样可得,.,24,解：利用公式,设,则,例8.,.,25,2、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由F、G的偏导数组成的行列式,称为F、G的雅可比行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比,.,26,雅可比(18041851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积,分中.,他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微,分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.,他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.,.,27,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:,在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,.,28,(P86),.,29,有隐函数组,则,两边对x求导得,设方程组,在点P的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,.,30,同样可得,.,31,例9.设,解:,方程组两边对x求导，并移项得,求,练习:求,答案:,由题设,故有,.,32,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论u,v是自变量还是中间