镜像法和电轴法课件.ppt

1,1-5分离变量法,2,分离变量法综述,一、应用场合：,二、基本思想：,假定待求的位函数由两个或三个仅含有一个坐标变量的函数的乘积表示；把假定的函数（试探解）代入偏微分方程，借助于“分离变量”，将偏微分方程转化为两个或三个常微分方程；解这些常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数；得到位函数的解。,场域的分界面与正交坐标系的坐标面重合,3,1.5.1直角坐标系中的分离变量法,一、推导：,（仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）,拉普拉斯方程：,假定待求的位函数为试探解：,(x,y)=X(x)Y(y),把试探解代入，将偏微分方程转化为常微分方程：,设X(x)、Y(y)均不为0：,=,得两个常微分方程：,4,一、推导：,常微分方程:,3.解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数,若=kn2：,得电位函数的一般解：,X(x)=A0 x+B0Y(y)=C0y+D0,当kn0时：常微分方程的解为：,X(x)=Anch(knx)+Bnsh(knx),Y(y)=Cncos(kny)+Dnsin(kny),(x,y)=X(x)Y(y)=(A0 x+B0)(C0y+D0),b.若=-kn2：,(x,y)=X(x)Y(y)=(A0 x+B0)(C0y+D0),当kn=0时：常微分方程的解为：,1.5.1直角坐标系中的分离变量法,5,例一、长直金属槽如图.三边接地,另一边电位为V0,求槽内电位分布.,解：,由方程：,=0,=V0,a,0,x,y,b,=0,=0,金属槽内,|(x=0,0yb)=0,(x,y)=(A0 x+B0)(C0y+D0),由边界条件1：,0=B0(C0y+D0),由边界条件2：,0=A0D0 x,由边界条件3：,0=A0 xC0b,|(y=0,0xa)=0,|(y=b,0xa)=0,|(x=a,0yb)=V0,kn=n/b,(x,y)=,1.5.1直角坐标系中的分离变量法,6,例一、长直金属槽如图.三边接地,另一边电位为V0,求槽内电位分布.,解：,=0,=V0,a,0,x,y,b,=0,=0,金属槽内,|(x=0,0yb)=0,由边界条件4：,|(y=0,0xa)=0,|(y=b,0xa)=0,|(x=a,0yb)=V0,(x,y)=,数学处理：,(x,y)=,1.5.1直角坐标系中的分离变量法,7,一、推导：,（仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）,拉普拉斯方程：,假定待求的位函数为试探解：,(,)=R()Q(),把试探解代入，将偏微分方程转化为常微分方程：,同乘以2/RQ：,=,得两个常微分方程：,1.5.1直角坐标系中的分离变量法,8,1.5.2圆柱坐标系中的分离变量法,一、推导：,（仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）,常微分方程:,3.解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数,若=m2：,要满足周期性：,R()=A0ln+B0Q()=C0+D0,当m0时：常微分方程的解为：,R()=Amm+Bm-m,Q()=Cmcos(m)+Dmsin(m),(,)=R()Q()=(A0ln+B0)(C0+D0),m=整数=n,当m=0时：常微分方程的解为：,Q()=Q(+2),Q(m)=Q(m+2m),b.若=-m2：不满足周期性，舍去。,9,解：,由方程：,1|(=a)=2|(=a),E0,a,22,0,x,y,11,圆柱体内,圆柱体外,(,),=(A0ln+B0)(C0+D0),分界面条件,(,)=(,-),(,)=(,+2k),对称性,1|()=-E0cos,外加场均匀,由对称性：,2|(=0)=0,(,),=A0ln+B0,1.5.2圆柱坐标系中的分离变量法,例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。求圆柱体放入后场中的电位分布。,10,例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。求圆柱体放入后场中的电位分布。,解：,1|(=a)=2|(=a),E0,a,22,0,x,y,11,1|()=-E0cos,2|(=0)=0,(,),=A0ln+B0,1.由外加场均匀：,外加场均匀,-E0cos,=A0ln+B0,1(,)=,2.由2|(=0)=0：,=A0ln0+B0,0,2(,)=,1.5.2圆柱坐标系中的分离变量法,11,例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。求圆柱体放入后场中的电位分布。,解：,1|(=a)=2|(=a),E0,a,22,0,x,y,11,1.由分界面条件：,1(,)=,2(,)=,n=1：,-E0a+B1a-1=A1a,1(-E0+B1a-2)=2A1,A1=-1-(2-1)/(2+1)E0,B1=(2-1)/(2+1)a2E0,An=0Bn=0,n1：,1.5.2圆柱坐标系中的分离变量法,12,例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。求圆柱体放入后场中的电位分布。,解：,E0,a,22,0,x,y,11,1(,)=,2(,)=,1.5.2圆柱坐标系中的分离变量法,13,1-7镜像法和电轴法(解决静电场边值问题的间接方法),14,问题引入：无限大导体平板(接地)上方h处有点电荷q，周围介电常数为，求解导体平板上方的电场。,解：,2=0,除点电荷处,|(导体平面)=0,|(无穷远处)=0,考虑如图b，在导体平面下方h处放点电荷-q，并撤去导体，整个空间充满介质的情况,(图a),(图b),1.7.1镜像法,一、平面镜像：(导体）,15,(图a),(图b),结论：,图a中电介质中的电场分布可用图b计算；,镜像电荷必须放在有效范围之外。,-q为镜像电荷，它代替了分布在导电平板上的负值感应电荷的作用；用镜像法要注意有效范围：,单一介质！,思考：如何求导体表面的电荷密度分布？,16,电荷守恒：当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。,半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。,17,推广1.点电荷q线电荷,(图a),(图b),单一介质！,（结论类似）,推广2.平面两个平面,=/n(可除尽)(n=1,2,3)有(2n1)个镜像,18,对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入5个镜像电荷。,连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。,19,推广3、两种介质1、2的分界面为无限大平面，在介质1中距离分界面d处有点电荷q。求两种介质中的电场。,解：,21=0,除点电荷处,E1t=E2t,在镜像电荷系统中：,(图b),(图c),22=0,D1n=D2n,介质分界面,E1t=,E2t=,D1n=,D2n=,20,结论：,图a介质1中的电场分布可用图b计算，q=q(1-2)/(1+2)；图a介质2中的电场分布可用图c计算，q=2q2/(1+2)；,镜像电荷q是分布在分界面上的极化电荷的等效；镜像电荷q是极化电荷和自由电荷的等效；注意图b图c的有效范围：,(图b),(图c),21,二、球面镜像：,问题1:半径为R的导体球(接地)外d处有点电荷q，周围介电常数为，求解导体球外的电场。,解：,2=0,除点电荷处,|(导体球面)=0,|(无穷远处)=0,考虑如图b，镜像电荷的位置、大小？,(图b),=0,r2=R2+d2-2Rdcosr2=R2+b2-2Rbcos,22,(图b),0,R,d,结论：,图a中电介质中的电场分布可用图b计算；,-q为镜像电荷，它是分布在导电球上的负值感应电荷的等效；q=qR/d(|q|q)；R2=bd；用镜像法要注意有效范围：,单一介质！,23,问题2:半径为R的导体球(不接地)外d处有点电荷q,周围介电常数为,求解导体球外的电场。,解：,考虑如图b，镜像电荷的位置、大小？,(图b),两个镜像电荷q、-q，q位于球心,24,1.图示点电荷Q与无限大接地导体平板的静电场问题中，为了应用镜像法求解区域A中的电场，基于唯一性定理，在确定镜像法求解时，是根据边界条件（用电位表示）.,或：,25,2、镜像法的理论根据是_。镜像法的基本思想是用集中的镜像电荷代替_的分布。,26,一、问题的提出：,长直平行带电圆柱导体在电力和信号传输中广泛存在。分析两长直平行带电圆柱导体（轴向单位长度电荷量为、-）的电场：直接法很困难。间接解决。,|(导体1)=c1|(导体2)=c2,1.7.2电轴法,27,二、一对细长导线产生的电场：,解：由高斯定律、叠加原理：,0,P(x,y),2b,r+,r_,取y轴电位为0，则：C=0,等位线方程为：令P=k,则等位线为若干圆，,R2+b2=d2,设圆心到原点的距离为d，圆半径为R,28,结论：,0,2b,等位线为若干圆，,R2+b2=d2,圆心到原点的距离为d，圆半径为R,2d,R,29,三、两长直平行带电圆柱导体(等半径)外部的电场：,电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴)。,a2+b2=h2,设圆柱导体的半径为a，两圆心距离为2h，两等效电轴的距离为2b,导体内部的电场？,注意确定等效电轴的位置。,若取y轴电位为0，则圆柱导体外任一点P的电位为:,30,例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为U0，尺寸如图，求导体轴向单位长度电荷量及导体外任意点P的电位。,解：用电轴法,U0,则导体2的电位即点P的电位为：,=U0/2,设等效电轴距离为2b,31,四、两长直平行带电圆柱导体(不同半径)外部的电场：,电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴)。,a12+b2=h12a22+b2=h22,设圆柱导体的半径为a1a2，两圆心离y轴为h1h2，两等效电轴的距离为2b,注意确定等效电