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第四章习题解答第四章习题解答 4-1 图示长方形，OA=1，2=OB，OC=3。如图定义它的连体基与参 考基。在某瞬时矩形的姿态坐标（欧拉角）为 b e ? r e ? T 2 2 2 =q。 （1）写出该 瞬时连体基关于参考基的方向余弦阵； （2）画出矩形的姿态图； （3）通过 欧拉角的三次转动验证结果的正确性。 b e ? r e ? （a） 解： （1） 将姿态坐标值代入教科书式（4.1-4）直接可得该瞬时的长方体的方 向余弦阵 = 001 010 100 rb A （2） 以上方向余弦阵的第 1、2 和 3 列分别为基 b e ? 的基矢量、和 b x ? b y ? b z ? 在基上的坐标阵可知，与 r e ? b x ? r z ? 同向， b y ? 与 r y ? 同向， b z ? 与 r x ? 反向。 根据图 （ ） 中长方体顶点 A、B 与 C 在连体基上 a b e ? 的位置，在图（d）中找到相应的位置， 构成长方体的姿态坐标为 T 2 2 2 =q的当前姿态。 (b) (c) (d) 题 41 答案图 另一种方法是直接确定长方体顶点 A、B 与 C 在参考基 r e ? 上的当前位置。根 - 1 - 据已知条件可以定义给定点 A、B 与 C 的矢径分别为 A r ? 、 B r ? 与 C r ? 。在连体基上的 坐标阵为，()T001= A r()T020= B r，() T 300= C r。这些点在参考基 r e ? 上的当前瞬时坐标阵为： = = 1 0 0 0 0 1 001 010 100 A A A z y x ， = = 0 2 0 0 2 0 001 010 100 B B B z y x = = 0 0 3 3 0 0 001 010 100 C C C z y x 直接根据上式给出的长方体顶点A、B与C在基 r e ? 上的坐标阵，在基上确 定它的位置。画出长方体的姿态图如图（d）。 r e ? （3） 按照欧拉角的定义，图（b）为第一次转动，绕基矢量 r z ? 转过 2 到达过 渡基的方位， 图 （c） 为第二次转动， 绕基 u e ? u e ? 的基矢量 u x ? 转过 2 到达过渡基 v e ? 的方位。图（d）为第三次转动，绕 v e ? 的基矢量 v z ? 转过 2 到达的连体基的当前姿 态。与上述的计算结果一致。 - 2 - 4-2 试找到题1-13中两个基的一次转动矢量p ? 在基 1 e ? 的坐标阵，且验证 。 1 p 10 pp = 解： 根据题 1-13,已知 = 2 2 3 3 6 6 0 3 3 3 6 2 2 3 3 6 6 01 A 方向余弦阵 01 A 的本征根方程至少存在一个1=的根,对应于本征根1=的 矢量为,其在基的坐标阵p ? 1 e ? () T 1 3 1 2 1 1 1 xxx=p代入本征方程()0 0= 101 pIA, 得()0 0= 101 pIA = 0 0 0 1 2 2 3 3 6 6 01 3 3 3 6 2 2 3 3 1 6 6 1 3 1 2 1 1 x x x 解以上的代数方程得 T 1 12 2 62 1 + =p + + + = + = 2 2 1 6 18 6 6 6 6 0 6 18 6 6 3 6 2 2 1 6 18 6 6 6 6 12 2 62 1 2 2 3 3 6 6 0 3 3 3 6 2 2 3 3 6 6 1010 pAp T 12 2 2 2 6 1 += 10 pp =命题得证。 - 3 - 4-3 连体基关于参考基 b e ? r e ? 的方向余弦阵为，求连体 基的欧拉角坐标。 = 001 010 100 rb A b e ? 解：根据教科书4.14式 + = CCSSS SCCCCSSSCCCS SSCCSSCSCSCC rb A 给出了描述连体基姿态的方向余弦阵与刚体欧拉角间的关系， 可见刚体欧拉角可 以用来描述连体基的姿态，定义它们为刚体的姿态坐标，记为 T )(=q 由方向余弦阵0cos 33 =A，在0，的主值区内，可得 2 =，1sin=； 由方向余弦阵1sinsin 13 =A，0sincos 23 =A 得：1 sin sin 13 = A ，0 sin cos 23 = A ， 2 =； 由方向余弦阵1sinsin 31 =A，0cossin 32 =A 得：1 sin sin 31 = A ，0 sin cos 32 = A ， 2 =； 连体基欧拉角坐标为 T 2 2 2 =q，为习题4-1的反问题。 - 4 - 4-4 顶角为2的正圆锥体，在平面上滚动而不滑动，此时顶点A将保持 不动。设已知其高为L，底面中心O点的速度为 O v ? ，为常数。求（1） 、正圆 锥体的转动角速度， （2） 、底面上C点的速度。 O v 题44图 解： 图示正圆锥绕A点作定点运动，过A点建立连体基 b e ? 与参考基，圆锥高 AO沿基矢量。圆锥体在平面上滚动而不滑动。锥体与平面相切的母线AB为 瞬时转动轴。定义圆锥的角速度矢量 r e ? b y ? p ? ? 。如图，p ? 与 b y ? 的夹角为，底面中心 O的绝对速度的方向垂直于矢量 O v ? ? 与 O r ? 的构成的平面。点O到瞬时轴的距 离为 p ? sinLhO=，圆锥的角速度 sinL vO =。由于矢量 ? 、 C r ? 与在同一个平面 内，所以C的绝对速度的方向和 O r ? C v ? O v ? 平行同向。点C到瞬轴的距离为p ? sin22sin cos L L hC=，所以 C v ? 的模为： OCC vhv2= 题44答案图 - 5 - 4-5 求习题4-4中圆锥绕轴AO的转动的角速度、绝对角加速度和点B、C的 加速度。 题45答案图 解： 如图过A点建立参考基与动基 r e ? u e ? ， 后者与圆锥 （自转轴） 固结， 基矢量 u y ? 沿AO。圆锥的定点运动可分解为圆锥连体基 b e ? （图中没有标出）相对于动基 u e ? 的基矢量的相对转动和基相对于参考基 u y ? u e ? r e ? 的牵连运动绕基矢量的 定轴转动的合成。 r z ? re ? += 由上题 sinL vO =，根据题图可解得 cosL v tg Oe =， cossincosL vO r = 圆锥绕轴AO的转动角速度为 cossinL vO r = 圆锥的角加速度 ? += e ttd d d d ur ， 角速度矢量 ? 在动基的坐标阵 为常值阵，所以上式的第一项为零。所以 u e ? ? = e ，圆锥的绝对角加速度矢量 垂 直 于与 e ? ? 构 成 的 平 面 ， 与 基 u x ? 同 向 ， 其 模 为 2sin 2 sincos2 sin 2 2 L v L v L v OOOe =。 由于 ? 与 B r ? 相互垂直，B点的转动加速度 B a ? 在（ uuz y ? ）的平面内垂直于 B r ? - 6 - （ cos L rB=） ， cos2sin 2 cos2sin 2 2 2 2 L vL L v ra OO BB = B点的向心加速度，因为B点在瞬时转动轴上0= B a0= B h C点的转动加速度在（ C a ? uuz y ? ）的平面内垂直于 C r ? （ cos L rC=） cos2sin 2 cos2sin 2 2 2 2 L vL L v ra OO CC = C点的向心加速度 sin 2 cos 2sin ) sin ( 2 22 L vL L v CEa OO C = - 7 - 4-6 以球铰O连接顶点的动圆锥在定圆锥上作匀速纯滚动。设动锥的瞬 时角速度为，动园锥母线LOB =，顶角为 4 ，定锥的顶角为 2 ，试计算动锥 的最高点D的速度和加速度 题46图 题46答案图 解： 如图过O点建立参考基与动基 r e ? u e ? ， 后者与圆锥的自转轴固结， 基矢量沿 OA，连体基的基矢量沿OA，图中没有标出。动圆锥的定点运动可分解成 圆锥的连体基相对于动基的基矢量 u y ? b e ? b y ? b e ? u e ? u y ? 的相对转动和动基 u e ? 相对于参考基 的牵连运动绕基矢量的定轴转动的合成。动圆锥的瞬时转动轴沿 OB。 r e ? r z ? p ? 根据角速度合成矢量图可知： = e 动圆锥的角加速度 ? =+= ee ttd d d d ur ，圆锥的角加速度矢量 垂直于与 e ? ? 构成的平面，与基 u x ? 同向，其模为 2 2 2 135sin= ?e 。 由于矢量 ? 、Dr ? 在同一个平面内， 所以D点的绝对速度 D v ? 的方向垂直矢量 ? 与 D r ? 所在的平面，D点到瞬时转动轴p ? 的距离为LhD 2 2 =， D v ? 的模为 Lhv DD 2 2 = 由于角加速度矢量 ? 与D点矢径 D r ? 相互垂直，D点的转动加速度在与 D a ? u y ? - 8 - u z ? 的平面内垂直 D r ? （） ，其模为LrD=Lra DD 2 2 2 = D点的向轴加速度，方向：在 D a ? u y ? 与 u z ? 的平面内垂直指向瞬时轴，其模为 LDEa D 22 2 2 = - 9 - 4-7 图示一两个自由度的回转仪，今转子以匀角速度 1 绕水平轴AB转动， 同时AB轴又以匀角速度 2 绕CD轴转动，如4 1 =rad/s，3 2 =rad/s。求转子 的角速度和瞬时角加速度的大小和方向。 题47图 题47答案图 解： 转子的运动是绕其中心O点的定点运动。 将动基建立在外环ACB上，则牵连角速度为 2 ，相对角速度为 1 则 21 ? +=+= rea ， 因为 21 ? ， 所以5 2 2 2 1 =+=arad/s， 且 a ? 在 1 ? 和 2 ? 所决定的平面内， 4 3 tan 1 2 = 由于 21 ? ，且始终不变， re ? =。转子的角加速度 ? 垂直于 1 ? 和 2 ? 所 决定的平面与基 1 y ? 同向，其模为rad/s 1290sin 21 = ? - 10 - 4-8 球与杆固连，在顶角等于的固定的圆锥内表面上只滚动而不滑 动， 点O保持不动， 而球心C以速度 ? 120 160= C vmm/s等速运动。 设直径AB=80mm， OC=80mm，求直径两端点A和B的速度和加速度。 题4-8图 解： 如图过O点建立参考基与动基 r e ? u e ? ，后者基矢量 u y ? 沿OC，并与OC固结， 连体基的基矢量沿OC， 图中没有画出。 球与杆固连在一起的刚体的定点运 动可分解为刚体的连体基相对于动基 b e ? b y ? b e ? u e ? 的基矢量 u y ? 的相对转动和基相对 于参考基的牵连运动绕基矢量 u e ? r e ? r Z ? 的定轴转动的合成。动圆锥的瞬时转动 轴沿OA，则刚体的绝对角速度p ? 4= AC vC a rad/s。 题4-8答案图 根据角速度合成矢量图可知rad/s。 4= ea 刚体的角加速度 ae t ? = d d r ，刚体的角加速度 ? 垂直于和 所 e ? a ? - 11 - 决定的平面与基 u x ? 同向，其模为 2 rad/s38120sin= ?ae A点在瞬时转动轴上，所以0= A v 由于矢量与 a ? B r ? 在同一个平面内， 所以B点的绝对速度 B v ? 的方向垂直于 a ? 与 B r ? 所在的平面。B点到瞬时轴的距离为80= B hmm，所以 B v ? 的模为 mm/s。 320= B a B hv 角加速度矢量 ? 与A点的矢径 A r