农业工程中的计算机模拟中

农业工程中的计算机模拟2吉林大学研究生课程,第二章系统分析模型,系统建模的方法很多，本课程只选择一些农机系统中常见的建模方法。21微分法建模商品经营者制订价格要使利润最高，工厂订购生产资料要考虑订贷和贮存等费用最低，体育比赛中运动员要争取创造最佳成绩，动物的生理构造也在长期进化过程中达到了某种意义下的最优状态。普遍存在着的优化问题经常成为人们的研究对象建立优化模型要首先确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标和所采取的策略以及各种限制条件的模型最后通过模型求解给达达到最优指标的所谓最优策略。,21微分法建模,一、不允许缺货的存贮模型工厂要定期地订购各种原料，存在仓库里供生产之用商店要成批地购进各种商品，放在贷柜中以备零售水库在雨季蓄水、用于旱季的灌溉和航运不论是原料、商品还是水的贮存，部有一个贮存多少的问题原料、商品存得太多，贮存费用高；存得太少则无法满足需求水库雨季蓄水过量更可能危及安全当影响贮存量的因素包含随机性的时候，如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建立随机件存贮模型本节假定需求量是恒定的，并且不允许缺货现象出现，如钢厂订购废钢供炼钢用就是这种情况，团为炼钢生产对原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料将造成巨大损失。在不允许缺货的情况下我们只考虑两种费用：订贷时需付的一次性订货费；货物的贮存费至于货物本身的价格，下面将看到它与要讨论的优化问题无关建立模型的目的是在单位时间的需求量为常数的情况下，制订最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少贷，使总费用最小。,21微分法建模,模型假设为了叙述的方便设时间以天为单位，货物以吨为单位，每隔T天订一次货(T称订贷周期)订货量为Q吨订贷费、贮存费及单位时间需求量均为已知常数模型要以总费用为目标函数确定订贷周期T和订货量Q的最优值假设条件可归纳如下1每次订货费为cl，每天每吨货物贮存费为c22每天的货物需求垦为r吨3每T天订货Q吨，当贮存量降到零时订货立即到达对于第3条假设中订货可以瞬时完成，可解释为由于需求是确定和已知的，只要提前订货使得贮存量为零时立即进货就行了当然，存储量降到零不符合实际生产的需要，应该有一个最低库存量，可以认为模型中的贮存量是在这个最低存量之上计算的模型建立订货周期T、订贷量Q与每天需求量r之间满足QrT(1),21微分法建模,订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮存量为q，则q(r)的变化规律可以用下图表示,考察一个订货周期的总费用：订货费为c1；贮存费是,21微分法建模,其中积分恰等于图中三角形的面积A,显然A=QT/2由(1)式可知一个订货周期T内的总费用为一个订货周期厂内的总费用为（2）这个存贮模型的目标函数不能是一个周期的总费用C，而应取作每天的平均费用，记作C(T)，显然（3）制订最优存贮策略归结为求订贷周期T使C(T)最小。利用微分法今dC/dT0不难求得（4）再根据（1）式有（5）式(5)是经济理论中著名的经济订货批量公式(EQ公式),21微分法建模,前面说道，货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货物的价格为k，则一周期的总费用C中应添加kQ由于QrT，所以(3)式中增加一常数项kr，对求解结果(4)、(5)式没有影响评注(5)式表明，订货费c1越高需求量r越大，订货批量Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小这些关系当然是符合常识的不过公式在定量上表明的平方根关系却是凭常识无法得到的。,21微分法建模,二、投种滑道的理论设计精密播种机除了配置性能良好的播种部件外，要求在设计投种管道时，尽可能保证零速投种，缩短投种口和地面的距离，否则种子具有相对地面速度，使种子落地后弹离原位、仍然不能达到精密播种的目的。在确定其滑道为抛物线的前提下，用平面解析法，从理论上探讨投种管道的抛物线形状。水稻秧盘播种机的播种部件固定，而秧盘相对播种部件(或地面)运动。为了达到零速投种，种子离开管道瞬时，其相对速度应该与前进速度相等，且方向相反，使其绝对速度为零。假设谷物从播种部件的播种口进入投种管道瞬时的速度为V，谷物离开管道时水平速度为Vx，无垂直速度。Vm为播种机前进速度，因此种子在离开输种管时，VxVm，投种口接近地面，管道的垂直高度为h，投种管道与谷物摩擦角为。,21微分法建模,为了使设计简化，采用抛物线输种管，设其出口端为抛物线顶端，抛物线开口向上。已知：滑道高度为H、种子落入滑道速度为Vy、种子离开滑道速度为VxVm，设滑道抛物线为yax2，种子在滑道中任意点受力分析如图41所示，为摩擦角，则有：设滑道摩擦力F对种子作功为A，种子由顶点沿轨道运行的路程为s,当y=H时,21微分法建模,种子在进入滑道和离开滑道时，能量守恒：,由此得到输种滑道的抛物线方程：yax2编程后通过改变H，Vx，Vy等参数，就可以方便地得到一系列符合设计要求的滑道轨迹，供设计者选择,22量纲分析法建模,量纲分析(DimensionalAnalysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi定理然后用这个定理讨论一个力学的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用，最后给出种简化模型的方法无量纲化,22量纲分析法建模,一、量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在研究动力学问题时常把长度l、质量m和时间t的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L、质量M和T，于是速度v、加速度a的量纳可以按照其定义分别用LT-1和LT-2表示，力f的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积LMT-2表示有些物理常数也有量纲，如万有引力定律中的引力常数k，由,22量纲分析法建模,可知其量纲应从力f、距离r和质量m的量纲求出，为LMT-2.L2.M-2L3M-1T-2。通常，一个物理量q的量纲记作q，于是上述各物理量的量纲为对于无量纲量，我们记1(因为可视为L0M0T0)用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(DimensionalHomogeneity)量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理量之间的关系在叙述主要定理之前让我们先看个例于。单摆运动这是一个熟知的物理现象，质量为m的小球系在长度为l的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg作用下(g为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力求摆动周期t的表达式。,22量纲分析法建模,在这个问题中出现的物理量有t、m、l、g，设它们之间有关系式（1）其中1、2、3是待定常数，是无量纲的比例系数取(1)式的量纲表达式即将代入得（2）按照量纲齐次原则应有（3）,22量纲分析法建模,(3)的解为10，21/2，代入(1)式得（4）(4)式与用力学规律得到的结果是一致的如果考虑得更精细些周期t应与小球偏离平衡位置的初始角度有关，促因是无量纲量(弧度)，所以它的影响反映在系数内，即为()事实上()是以为参量的第一类椭圆积分，当很小时它的值近似于2为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作（5）进而假设(5)式形如（6）,22量纲分析法建模,其中y1y4是持定常数，是无量纲常数将t、m、g的量纲用基本量纲L、M、L表示为(7)则(6)的量纲表达式可写作(注意到)即,22量纲分析法建模,量纲齐次原则给出（8）此方程组有一个基本解（9）代入（6）式得（10）而（5）式等价于（11）(10)、(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式。,22量纲分析法建模,把从(5)式到(11)式的推导过程般化，就是著名的BuckinghamPi定理。定理没有m个物理量q1，q2，qm，（12）是与量纲单位的选取无关的物理定律：X1，X2，Xn是基本量纲，nm，q1，q2，qm的量纲可表为（13）矩阵Aaijnm称量纲矩阵若A的秩RankA=r（14）设线性齐次方程组（y是m维向量）Ay=0（15）的mr个基本解为（16）,22量纲分析法建模,则（17）为m-r个相互独立的无量纲，且（18）与(12)式等价F表示一个未定的函数关系。这里只证明定理结论的前半部分即s是mr个相互独立的无量纲量，后半部分，证明略。取(17)的量纲表达式并将(13)代人得（19）,22量纲分析法建模,由（15）、（16）式知代入（19）式得（20）即s是无量纲量，又根据线性代数基本定理，由(14)知ys(s=1，2，mr)相互独立，故s是相互独立的无量纲量。,22量纲分析法建模,二、航船的阻力长l、吃水深度h的船以速度v航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依赖于船的诸变量l、h、v以外，还与水的参数密度、粘性系数，以及重力加速度g有关下面用量纲分析方法确定阻力f和这些物理量之间的关系我们按照Pi定理中(12)一(18)式的步骤进行1航船问题中涉及的物理量有：阻力f，船长l，吃水深度h，速度v，水的密度，水的粘性系数，重力加速度g，要寻求的关系式记作（1）,22量纲分析法建模,2这是一个力学问题，基本量纲选为L、M、T上述各物理量的量纲表为（2）其中的量纲由基本关系得到。这里p是压强（单位面积受的力），所以p=LMT-2.L-2=L-1MT2，v是尺度，所以并且有n=3m=7。,22量纲分析法建模,3.由（2）立即可写出量纲矩阵并且计算RankA=3(=r)4.解齐次方程Ay=0方程（5）有mr=73=4个基本解，可取为,22量纲分析法建模,5.(6)式给出4个相互独立的无量纲量（7）而（1）式与（8）等价，是未定的函数。(7)、(8)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系。,22量纲分析法建模,6为得到阻力f的显式表达式，由(8)及(7)中4的式子可写出其中表示一个未定函数在流体力学中无量纲量称Froude数，3称ReynoId数，分别记作则(9)式义表示为(11)式就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的虽然这里函数的形式无从知道，但它在在物理模拟中有用途。,22量纲分析法建模,三、物理模拟中的比例模型我们在上面介绍了物理模型它是在实验室条件下按照缩小了的比例尺寸构造的，目的是根据相应的比例来研究原型的某些性质量纲分析的结果可以指导这种比例关系的确定，先以单摆运动为例已经得到模型中摆动周期t与摆长l的关系为(1)若记原型中相应的各个物理量为t、l、g，因为是无量纲量在模型与原型中不变，又显然有gg，所以由(1)式立即得到(2)这样，如果模型摆的尺寸按照摆长比例l：l1：4设计制造、那么测定了模型摆的周期t以后，就可以知道原型摆的周期为t2t。,22量纲分析法建模,可以看出，这里主要用无量纲量在模型和原型中保持不变的性质下面利用航船问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受的阻力。以f、l、h、v、g和f、l、h、v、g分别记模型和原型中的各种物理量，由式，（3）（4）当无量纲量（5）,22量纲分析法建模,成立时，由（3）、（4）式可得（6）原型航船的阻力f可由模型船的阻力f及其它有关量算出。考察(5)式成立的条件如果在模拟实验中用与海水有相同密度和粘件系数的水，即，又因为显然有gg，所以(5)式将变为（7）而要(7)式成立必须有ll，hh，即制造和原型一样大的模型船，这显然排除了物理模拟的可能。如果考虑改变模拟实验所用液体的粘件系数，仍设，则(5)式为（8）,22量纲分析法建模,(8)的第1式容易在构模时实现，而要(8)的第2、3式成立必须有(9)假若我们构造比例尺寸为l：l1：20的模型，则由(9)式应该00114技术上很难得到如此小的粘性系数的液体供模拟实验所用实际上的一种近似处理方法是，在一定条件下Re数的影响很小（Relv，见前面的(10)式），将其忽略后(3)式近似为(10)其中粘性系数没有了类似的分析不难得到(11)于是知道了模型船的阻力f就很容易确定原型航船的阻力f了。,23层次分析法建模模型,人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：买件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的及花的、白的、方格的之中作出抉择：请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，是去风光绚丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或者去山水甲天下的桂林如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业，或者选择工作岗位的时候就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了从事各种职业的人也经常面对决策：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。,23层次分析法建模模型,人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少、有大有小、但是一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择(当然要根据客观实际)会起着相当主要的作用，这就给用般的数学方法解决问题带来本质上的困难。TLSaaty等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称层次分析法(AnalyticHierarchyProcess，简记AHP)，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法过去研究自然和社会现象主要有机理分析和统计分析两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律近年来发展的系统分析是又一种方法而层次分析法就是系统分析的数学工具之一。下面先介绍层次分析法的基本步骤和应实例，再讨论该方法在理论、计算及建模等方面的若干问题。,23层次分析法建模模型,一、层次分析法的基本步骤明确目的建立层次结构构造判断矩阵单层次排序层次总排序一致性检验。层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的，不妨用前面提到的假期旅游为例，假如有P1、P2、P33个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较那3个候选地点。首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如P1景色最好，P2次之；P2费用最低，P3次之；P3居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在P1、P2、P3中确定哪个作为最佳地点。上面的思维过程可以加工整理成以下几个步骤：1将决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即选择旅游地，最下层为方案层，有P1、P2、P33个供选择地点，中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层间的联系用相连的直线表示(图91)。,23层次分析法建模模型,2通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。3将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。,层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成上述步骤，给出决策结果下面我们来说明如何比较同一层各因素对上层因素的影响，从而确定它们在上层因素中占的权重。,23层次分析法建模模型,成对比较矩阵和权向量（判断矩阵）涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地量测人们凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受。Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度假设要比较某一层n个因素C1，C2，Cn对上层一个因素O的影响，如旅游决策问题中比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性每次取两个因素Ci和Cj，用ij表示Ci和Cj对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵,23层次分析法建模模型,表示由于(1)式给出的ij的特点，A称为正互反矩阵显然必有ij=1如用Cl，C5依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，设某人用成对比较法(做C25=54/2得到的成对比较：阵(正互反阵)为（2）(2)中12=l2表示景色Cl与费用C2对选择旅游地这个目标O的重要性之比为l:2；13=4表示景色Cl与居住条件C3之比为4:l；23=7表示费用C2与居住条件C3之比为7：1可以看出在此人选择旅游地时，费用因素最重，景色次之。怎样由成对比较阵确定诸因素C1，.，Cn对上层因素O的权重呢?,23层次分析法建模模型,设想把一块大石头O砸成n块小石头Cl，.Cn如果精确地称出它们的重量为w1，wn，在作成对比较时令ij=wiwj，那么得到这些比较显然是一致的，n块小石头对大石头的权重(即在大石头中占的比重)可用向量w=(w1，w2，wn)T表示，如果大石头为单位重量，则有wi=1显然，A的各个列向量与w仅相差一个比例因子。,23层次分析法建模模型,单层次排序w=(w1，w2，wn)T有两种方式：方根法和最大特征值法（1）方根法a计算判断矩阵每一行各元素的乘积Mi=ij(I=1,2,n)b.计算Mi的n次方根c对Wi进行规范化Wi=Wi/Wi,23层次分析法建模模型,(2)最大特征值法一般地，如果一个正互反阵A满足按ij.jk=ik则A称为一致性矩阵，简称一致阵。(3)式给出的A显然是一致阵容易证明n阶一致阵A有下列性质。1A的秩为l，A的唯一非零特征根为n；2A的任一列(行)向量都是对应于特征根n的特征向量如果得到的成对比较阵是一致阵，像(3)式的A，自然应取对应于特征根n的、归一化的特征向量(即分量之和为1)表示诸因素C1，Cn对上层因素O的权重，这个向量称为权向量如果成对比较阵A不是一致阵，但在不一致的容许范围内(下面将说明如何确定这个范围)，Saaty等人建议用对应于A最大特征根(记作)的特征向量(归一化后)作为权向量w，即w满足Aw=w（5）,23层次分析法建模模型,直观地看，因为矩阵A的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素ij，所以当ij离一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。(5)式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法求和w的简便算法和特征根法更深入的意义，以及其他求权向量的方法见93节比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素Cj和Ci对于一个上层因素O的影响时，采用什么样的相对尺度ij较好呢？Saaty等人提出用l-9尺度，即ij的取值范围是1，2，.，9及其互反数l，1/2.，1/9理由如下。,23层次分析法建模模型,1在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可以方便地表示如下。,23层次分析法建模模型,2心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人的判断能力，最多大致在7+2范围如以9个为限，用1-9尺度表示它们之间的差别正合适3Saaty曾用1-3，1-5，.，l-17，.，(d+01)(d+0.9)(d=l，2，3，4)，1p-9p(p=2，3，4，5)等共27种比较尺度，对在不同距离处判断某光源的亮度等实例构造成对比较阵，并算出权向量把这些权向量与按照光强定律等物理知识得到的实际的权向量进行对比发现，1-9尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且结果并不劣于较复杂的尺度。目前在层次分析法的应用中，大多数人都用1-9尺度在(2)式给出的成对比较阵A中就是用的这个尺度。,23层次分析法建模模型,一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内怎样确定这个范围呢?前面已经给出n阶致阵的特征根是n，在后面将证明的一个重要定理表明，n阶正互反阵A的最大特征根n，而当=n时A是一致阵。根据上述定理和连续地依赖于ij的事实可知，比n大得越多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大因而可以用n数值的大小来衡量A的不一致程度Saaty将定义为一致性指标CI=0时A为一致阵；CI越大A的不一致程度越严重注意到A的n个特征根之和等于A的对角元素之和(为什么?)，而A的对角元素均为l，所以特征根之和i=n(不妨记l=)由此可知，一致性指标CI相当于除外其余n1个特征根的平均值(取绝对值)。,23层次分析法建模模型,为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准Saaty又引入所谓随机一致性指标RI，计算RI的过程是：对于固定的n，随机地构造正互反阵A，(它的元素ij(ij)从19，1l9中随机取值，ji，为ij的互反数，ii=1)，然后计算A的一致性指标CI可以想到，A是非常不一致的，它的CI相当大如此构造相当多的A，用它们的CI的平均值作为随机一致性指标Saaty对于不同的n(=11)，用100-500个样本A，算出的随机一致性指标RI的数值如下表中n=l，2时RI=0，是因为l，2阶的正互反阵总是一致阵。,23层次分析法建模模型,对于n3的成对比较阵A，将它的一致性指标CI与同阶(指n相同)的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR，当（7）时认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量否则要重新进行成对比较，对A加以调整顺便指出，(7)式中01的选取是带有一定主观信度的。对于A利用(6)、(7)式和表9-2进行检验称为一致性检验。对于(2)式给出的A可以算出，=5073，归一化的特征向量w=(0263，0475，0055，0099，0110)T由(6)式CI=(5.073-5)/(5-1)=0018，在表9-2中查出RI=112按(7)式计算，CR=0.018/1.12=001601，于是通过了一致性检验，故上述w可作为权向量,23层次分析法建模模型,组合权向量在旅游决策问题中我们已经得到了第2层(准则层)对第1层(目标层，只有一个因素)的权向量，记作w(2)=(w1(2)，w5(2)。(即由(2)式的A算出的w)用同样的方法构造第3层(方案层，见图)对第2层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为,23层次分析法建模模型,这里矩阵Bk(k=1,，5)中的元素bij(k)是方案(旅游地)Pi与Pj对于准则Ck(景色、费用等)的优越性的比较尺度。由第3层的成对比较阵Bk计算出权向量wk(3)，最大特征根k和一致性指标CIk，结果列入下表不难看出，由于n=3时随机一致性指标RI=058(表9-2)，所以上面的CIk均可通过一致性检验。,23层次分析法建模模型,下面的问题是由各准则对目标的权向量w(2)和各方案对每一准则的权向量wk(3)(k=l，.，5)，计算各方案对目标的权向量称为组合权向量，记作w(3)。对于方案P1，它在景色等5个准则中的权重用wk(3)的第1个分量表示(表9-3中wk(3)的第1行)，而5个准则对于目标的权重又用权向量W(2)表示，所以方案P1在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即05950263+00820475+04290055十06330099+01660110=0300同样可以算出P2，P3在目标中的组合权重为0246和0456，于是组合权向量W(3)=(0300，0246，0456)T结果表明方案P3；在旅游地选择中占的权重近于1/2，远大于P1、P2，应作为第1选择地点。,23层次分析法建模模型,由上述计算可知，对于3个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2、3层分别有n、m个因素，记第2、3层对第l、2层的权向量分别为以wk(3)为列向量构成矩阵则第3层对第1层的组合权向量为更一般地，若共有s层，则第k层对第l层(设只有1个因素)的组合权向量为其中W(k)是以第k层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵于是最下层(第s层)对最上层的组合权向量为,23层次分析法建模模型,组合一致性检验可逐层进行，若第户层的一致性指标为CI1(p)，.，CIn(p)(n是第p-l层因素的数目)，随机一致性指标为RI1(p)，.，RIn(p)，定义则第p层对第1层的组合一致性比率为其中CR(2)为由(7)式计算的一致性比率最后，当最下层对最上层的组合一致性比率时认为整个层次的比较判断通过一致性检验,23层次分析法建模模型,在旅游决策问题中可以算出CI(3)=000l76，RI(3)=058前面已经有CR(2)=0.016，于是由(13)得到通过了组合一致性检验，前面得到的组合权向量w(3)可以作为最终决策的依据。,23层次分析法建模模型,在本节的最后，将层次分析法的基本步骤归纳如下：l建立层次结构模型在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次。同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。2构造成对比较阵从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响及)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和19比较，尺度构造成对比较阵，直到最下层。3计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量(计算方法见93节)，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量；若不通过，需重新构造成对比较阵。4计算组合权向量并做组合一致性检验利用(10)式计算最下层对目标的组合权向量，并根据(11)(14)式做组合一致性检验若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR只较大的成对比较阵。,24聚类分析模型,聚类分析是数理统计中研灾“物以类聚”的一种多元分析方法，即用数学定量地确定样品的亲硫关系，从而客观地分型划类。由于事物本身在很多情况下都带有模糊性，因此把模糊数学方法引入聚类分析，就能使分类更切合实际。模糊聚类分析应用广泛，如在气象预报、农业、林业、地质业科学等多方面已取得了一定的成果。一、模糊聚类分析的步骤模糊聚类分析方法大致可分为两种：一是基于模糊关系上的模糊聚类法，井称为系统聚类分析法。另一种称为非系统聚类法，它是先把样品粗略地分一下，然后按其最优原则进行分类，经过多次迭代直到分类比较合理为止，这种方法也称为逐步聚类法。我们着重介绍系统聚类分析法。应用系统聚类分析法，对样品进行分类的效果如何?关键在于要把统计指标选样的合理。也就是统调指标应该有明确的实际意义，有较强的分辨力和代表性，也即是要有一定的普遍意义。,24聚类分析模型,在选定了统计指标之后，进行模糊聚类分析的方法大致分以下三步：第一步，首先要把各代表点的统计指标的数据标准化，以便于分析和比较，这一步也称为正规化。标准化或称正规化，可以这样进行：式中x为原始数据，为原始数据的平均值，c为原始数据的标准差。若把标准化数据压缩到0，1闭区间，可用极值标准化公式：当x=xmax时，则x1当x=xmin时则x0。,24聚类分析模型,第二步叫做标定，即算出衡量被分类对象间相似程度的统计量rij(i1，2，Mj1，2，,nn为被分类对象的个数)从而确定论域U上的相似关系R计算统计量rij的方法很多，如欧式距离法、数量积法、相关系数法、指数相似系数法、最大最小方法、算术平均最小方法、几何平均最小方法等十二种。此外，还可以采取请有经验的专家评分法，一般可用百分制，然后再除以100即将0，1闭区间的一个小数为避免主观，也可采用多人评分再平均取值的方法来确定出rij。以上方法究竞选择哪一种好?不能一概而论，这要根据实际情况来决定。第三步：聚类，然而至必须是一个模糊等价关系才能聚类。,24聚类分析模型,二、模糊等价关系与聚类分析前行已经说过，模糊关系必须是模糊等价关系才能聚类，为此本节专讲模棚等价关系。我们知道，具有自反、对称相传递件的关系称之为等价关系。而等价关系又决定集合的一个分类我们仿此可以定义模糊等价关系。为明确起见，我们只考虑能够用模糊矩阵表达的模糊关系。即设论域U为有限集合。定义设约定U上的一个模糊关系（rij）nn如果它们满足：(1)自反性rij1。(2)对称性rijrji(i，J1，2n)。(3)传递性。则称（rij）nn是一个模糊等价关系。在这个定义中直观地看，自反性是矩阵的对角线上的元素全是1。对称性是为对称矩阵，即rijrji。而传递性却不易直接看出，需要计算。(并记作R2),它表示和它自身的合成，然后看其是否满足。现举例说明：,。,24聚类分析模型,设论域：给定模糊关系：其自反性和对称性是显然的，经验证可知它满足。，则根据定义，是一个模糊等价关系。现根据不同的水平进行分类：,。,24聚类分析模型,(1)当0621时亦即为单位矩阵，此时共分类五类(2)当048062时此时小于或等048的元素都变成0，大于048的元素部变成l，即得：时x1，x3此归并，其余保持，即分为四类,24聚类分析模型,(3)当047048时此时分三类(4)当041047时此时分四类(5)当0041时此时R的元素全是1，也就是全称矩阵。故只能分为一类，即“最粗”的分类,24聚类分析模型,总结以上分析结果，得到一个动态的聚类因，如图所示。从图中可以看出各类归并情况，和定理的直观意义。,25统计试验法（蒙特卡罗法）,统计试验法(即蒙特卡罗法MonteCarloMethod)一般用在无法用传统的物理试验方法或数学方法进行处理的复杂问题的求解。其特点是概念简单，没有连续性、可微性要求，特别适于求解高维数学问题，但该法具有概率意义下的精度，故需要较大的计算量。早在二百多年以前就开始应用统计试验法，这就是著名的蒲丰投针问题，但由于计算量大，长期没有得到发展。直到本世纪四十年代电子计算机问世以后，并且由于要解决的问题日益复杂，用传统的物理试验或数学方法，或者昂贵，或者不能解决，因而统计试验方法得到了迅速发展，成为研究随机现象的有力工具。如在反应堆屏蔽计算中，成功地用于解决粒子传播问题，从而代替了昂贵的实验。蒙特卡罗法这一术语，是在1949年由MetropoliN和UlamS在美国统计学会期刊上正式提出的(JAmer，StatisticalAssociation，1949，44，No247，335341)。从六十年代起，美、苏、英把蒙特卡罗法愈来愈多地用于农机工作过程的研究。在播种、间苗、饲料加工和田间作业机组服务系统的规划等方面均有应用，成为研究农业工程中随机过程的重要方法。,25统计试验法（蒙特卡罗法）,一、蒙特卡罗法的基本概念当一个随机变量的概率分布已知时，可用数学方法对它进行模拟，以得到该随机变量的样本，即采用电子计算机模拟随机过程，得到随机样本，从而代替难于进行或是昂贵的物理试验。因此，蒙特卡罗法可以理解为用电子计算机完成物理试验。比如，根据播种机和间苗机的特性及种子田间出苗率，可以用电子数字计算机模拟播种间苗过程，预测给定的播种、间苗方案所得到的田间植株分布，进行作物栽培规划。为了进一步了解蒙特卡罗法的概念，我们来分析解决计算问题的两个简单例子。考察一个简单积分计算的新方法。如图3l所示，已知y=f(x)，求积分为了便于研究问题，可任意改变x轴和y轴的比例尺，使0x1，0f(x)l，现在来求单位正方形(0x1，0yt0。一般地ti-ti+1t0(1)由于ti是受投种初速度、种子飘浮速度等多种因素影响的结果，据中心极限定理，种子下落时间ti服从正态分布，其取值范围(即种子下落的可能时间)为tmin，tmax。这样，倒位现象，即条件(1)可用两个独立的随机变量ti和ti+l的差：t=ti-ti+1的分布律来确定。由于ti和ti+1，是两个相互独立的正态分布的随机变量，故其线性组合t也将服从正态分布。现求出t的数字特征如下：数学期望E(t)0；方差D(t)D(ti-ti+1)=2D(t)；均方差t2at，,26概率分布方法建模（精密点播的统计模型）,现在来研究条件(1)，即tto出现的概率。把t作为随机变量X，其概率密度函数为tt0的概率为现在来研究积分限。如前所述，t取值的范围是tmin，tmax，则如图5所示，正态随机变量t的取值范围是tmin，tmax。其中tmaxtmax-tmin,tmin=tmin-tmax。,26概率分布方法建模（精密点播的统计模型）,为用拉普拉斯函数表计算，我们作如下变换：因此，种子在排种口到达最终位置过程中产生倒位的概率为可见，倒位的概率Pin决定于种子下落时间ti的分布(即tmax,tmin及方差D(t)和投种时间间隔t0。在n个种子中产生倒位的数量kk=nPin为了计算田间种子的倒位数，引入系数k/kn式中k田间种沟内实际倒位数；kn粘带上试验产生的倒位数。田间播种条件下的倒位数为：系数取决于种子物理机械性质、沟形、土壤状态及种子着地速度等因素。,26概率分布方法建模（精密点播的统计模型）,三、单粒点播的统计模型这一节我们研究单粒点播中粒距的统计模型，粒距方差以及统计模型计算的结果。（一）输种着地的中心化偏差回顾图2，且及是相互独立的正态分布的随机变量，于是我们有现在来研究总偏差对粒距的影响。如图6所示，把排种器提供的