复数与向量的关系

重视复平面上复数与向量的联系作用 平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情.一 复数商与内积的联系复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系.例1 复数z=a+bi, z=a+bi，它们的三角式分别为z=|z|(cos+isin), z=|z|(cos+isin),对应的向量分别是=(a,b)、=(a,b).然后复数作商:代数式作商:=；-(1)三角式作商：=cos(-)+isin(-),-(2)比较(1)(2)式,可得 cos(-)=, (3)sin(-)=(4)则从中可得下列变式：(1) 复数对应向量间的夹角余弦公式:cos(-)= ,( 我們总可以适当选择、的主值范围，使得|-|，所以与的夹角就是|-|).(2) 向量内积:=aa+bb=|cos(-).若对(4)取绝对值得到:|=|ab-ab|=|sin(-)|,这是空间平面上向量叉积的绝对值,是以线段oz、oz为邻边的平行四边形的面积公式.复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式. 若复数代数式的三角式分别是,然后,将它们的代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面的三个式子.数学中的这种相互包容联系,真是体现了数学中的统一和谐之美.二 复数向向量表示上的转化联系利用复数与向量的联系,复数可以向向量表示上的转化，使有些复数的问题转化为向量问题或构造向量图像去处理，借向量之力去解决复数问题.例2 已知复数z、z的模为1，z+z,求复数.解：根据题意，设复数对应的向量为，以这两个向量为邻边，边长为1，构作一个平行四边形，并建如图1的直角坐标系.记，对应向量. =z 对应的复数是 o z x ，zoz=60 ozz是正三角形, ozz 是正三角形. ,或.本题在解题的思路上借助了复数向向量转化的作用.复数向向量转化是较常用的思想方法.此题纯粹用代数方法去做,计算量是较大的. 例3复平面内，已知动点A,B所对应的复数的辐角为定值，分别、-，O为原点，AOB的面积是定值S，求AOB的重心M所对应的复数模的最小值.图2.解：根据题设，设向量对应复数且|,则有 , 图2 = = |z|=|,即重心M所对应的复数模的最小值（=时，取最小值）.该题用向量方法可较简捷获解. 复数向向量表示上的转化的特点是:能将复数条件化为特殊的向量图形, 或构造一个向量运算,然后,顺利进行推理运算,求得结果.三 向量向复数表示上的转化联系利用复数与平面向量的联系，由向量向复数表示上的转化，使向量问题转化为复数问题或构造复数的结论去处理，借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感.例4已知三个不共线的向量且证明:可构成一个三角形.证明:不妨设对应复数的三角式分别为:,且.=0(2)由(1),(2)解得不共线,可构成一个三角形.从证明过程知道,其逆也成立的,故此命题可写成充要条件的形式.该题纯粹用向量概念去证明是比较简单的,但学生听了后,并觉得没有复数解明白.向量向复数表示上的转化的特点是:转化为复数问题后能构造出复数的某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成.四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题的方法,在数学中是常用的手段，而且是常用常新，也是知识、思想、方法融会贯通的重要途径.如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题的处理自然要选择合适的形式来表示，或者是两者并用，实现相互左证,这样可以使问题明了简单.例5已知线段AB的中点C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD和BFCG,又作平行四边形CFHD和CGKE,求证H、C、K三点在一条直线上,且CK=CH,如图3. 证明:以C为原点,AB为X轴建立直角直角坐标系.设向量对应复数那么,向量对应复数分别为； 又、分别对应复数、 ， 图3 ， 平行，但又有公共点C，故H、C、K三点共线,且CK=CH.例6已知(k=1,2,n)是单位圆上的n个等分点,是该圆上任意一点,求证 为一定值.如图4.证明:以单位圆的圆心O为直角坐标的原点,OP为X轴,建立坐标系,则 (当k=n时,假定此角为2), 点,对应向量是,则其长为1,向量和,即. =(=2n-2=2n,为定值.在这两个问题解决的过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间的等价结论.复数与向量并用的特点是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自的范围内有顺利进行计算推理的可能.在平面图中，证明点共线，直线平行，直线垂直，判断三角形的形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题的,从而实现共同之目的.复数与平面向量之间的联系是很多的，既有数形联系,又有等价结论联系.用好这些联系的意义是很大的.在教学中能揭示这些联系，可以活跃思维，培养兴趣，提高学习的积极性,提高学习的效率. 要牢固掌握这些联系，关键在平时要理清复数与向量的对应联系，并把它们装在心中，拿在手中，落实在应用中,千万别将它们分离.例4已知是单位圆上的n个等分点(按逆时针排列)，o是原点，求证