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二次函数复习建议一、近四年苏州市中考函数及其应用的分值与比率 (仅供参考)分值（分）比率(%)2009年（江苏省统考总分150分）4022.372010年2922.312011年2418.462012年3930.00二、课标要求(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的一般表达式,并体会二次函数的意义。(2)会用描点法画出二次函数的图象，能利用函数的图象认识二次函数的性质。(3)会确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴并掌握图像的变化情况。(4)能根据已知条件利用二次函数解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）通过待定系数法确定函数关系式。(5)能理解并掌握二次函数与二次方程、二次不等式的关系。(6)能在实际问题中列出二次函数关系式并运用其性质解决简单的实际问题。(7)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。三、知识要点1、形如yax2bxc (a、b、c为常数，a0)的函数叫做二次函数。2、二次函数的解析式一般式：yax2bxc (a、b、c为常数a0)，当已知抛物线三个一般条件时，通常设一般式求解析式。顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中(h，k)是抛物线的顶点坐标。当已知与抛物线的顶点有关的条件时，通常设顶点式求解析式。交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中(x1，0)，(x2，0)是抛物线与x轴的交点坐标。当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，通常设交点式求解析式。由于交点式不具有一般性（抛物线与x轴不一定有交点），所以最终应将交点式化为一般式或顶点式。3、二次函数的图象：函数yax2bxc (a0)的图象是对称轴平行于y轴的抛物线。4、二次函数的性质：设yax2bxc (a0) 开口方向：当a0时，抛物线开口向上，当a0时，抛物线开口向下。 对称轴和顶点坐标如下表：解析式对称轴顶点坐标备注yax2bxc(a0)直线x(，)与y轴的交点为（0，c）ya(xh)2k (a0)直线xh(h，k)ya(xx1)(xx2) (a0)直线略与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0) yax2bxc (a、b、c为常数，a0)的最值及增减性如下表：a0a0增减性xy随x的增大而减小y随x的增大而增大xy随x的增大而增大y随x的增大而减小最 值当x时，y最小值当x时，y最大值四、能力要求例1：抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标，与y轴交点坐标；（3）画出这条抛物线；（4）根据图象回答：当x取什么值时，y0，y0？当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？分析：（1）将（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m求得m，即可得出抛物线的解析式；（2）令y=0，求得与x轴的交点坐标；令x=0，求得与y轴的交点坐标；（3）得出对称轴，顶点坐标，画出图象即可；（4）当y0时，即图象在一、二象限内的部分；当y0时，即图象在一、二象限内的部分；在对称轴的右侧，y的值随x的增大而减小。解：（1）抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点，m=3，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3，抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；令x=0，得y=3，抛物线与y轴的交点坐标（0，3）；（3）对称轴为x=1，顶点坐标（1，4），图象如图，（4）如图，当-1x3时，y0；当x-1或x3时，y0；当x1时，y的值随x的增大而减小。点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题、用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象，是基础知识要熟练掌握。例2：已知抛物线(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；(2)若此抛物线与x轴正半轴交于A、B两点（点A在点B右边），且，求m的值分析：令y0，方程的根即为抛物线与x轴交点的横坐标，证明与x轴有两个交点，即证明有两个不同的横坐标，即关于x的一元二次方程有两个不等实根.本题涉及点的坐标与线段的长度的互化问题，用点的坐标正确表示线段的长度，并结合根与系数关系进行求解，关键在于符号的处理.解：(1)证明：令y0 即抛物线与x轴有两个不同的交点(2)解法一：设A(x1，0)，B(x2，0) (x1x20) 则x1、x2是的两根 （） 且代入（）式 得m2当m2时，-2m0 舍去解法二:设OB=t,则OA=3t（t0）A(3t，0)，B(t，0) 则解法三：令y0 即，解得 m1即 即 得m2点评：解决有关二次函数与x轴交点的问题需正确理解并转化成一元二次方程根的问题来完成，结合根的判别式、跟与系数关系证明抛物线与x轴交点情况或求出字母系数的取值、取值范围.要求学生能将平面直角坐标系中几何图形所涉及的主要线段长度的关系用点的坐标来表示（如：等），并熟练运用一元二次方程跟与系数关系来解决.另外，某些含字母系数的二次方程运用因式分解法能较简单求出根时，则直接运用根进行求解。例3：某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件（1）写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；（2）写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？分析：（1）销售量y件为200件加增加的件数（80x）20；（2）利润w等于单件利润销售量y件，即w=（x60）（20x+1800），整理即可；（3）先利用二次函数的性质得到w=20x2+3000x108000的对称轴为x=75，而20x+1800240，x76，得76x78，根据二次函数的性质得到当76x78时，w随x的增大而减小，把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润。解：（1）根据题意得，y=200+（80x）20=20x+1800，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=20x+1800；（2）w=（x60）y=（x60）（20x+1800）=20x2+3000x108000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式y=20x2+3000x108000；（3）根据题意得，20x+1800240，x76，76x78，w=20x2+3000x108000，对称轴为x=75，a=200，当76x78时，w随x的增大而减小，x=76时，w有最大值，最大值=（7660）（2076+1800）=4480（元）所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元。点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题。例4：（2012湖南衡阳市，27，10）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0t）秒答案如下问题：（1）当t为何值时，PQBO？（2）设AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2x1，y2y1）称为“向量PQ”的坐标当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标。分析：（1）如图所示，当PQBO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；（2）求S关系式的要点是求得AQP的高，如图所示，过点P作过点P作PDx轴于点D，构造平行线PDBO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；本问关键是求出点P、Q的坐标当S取最大值时，可推出此时PD为OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2x1，y2y1），即可求解。解：（1）A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，AB=10如图，当PQBO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=103tPQBO，即，解得t=，当t=秒时，PQBO（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如图所示，过点P作PDx轴于点D，则PDBO，即，解得PD=6tS=AQPD=2t（6t）=6tt2=（t）2+5，S与t之间的函数关系式为：S=（t）2+5（0t），当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）如图所示，当S取最大值时，t=，PD=6t=3，PD=BO，又PDBO，此时PD为OAB的中位线，则OD=OA=4，P（4，3）又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）依题意，“向量PQ”的坐标为（4，03），即（，3）当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，3）点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点第（2）问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识。例5：已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C。（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标。分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PAB=90与当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PBA=90，分别求出符合要求的答案；（3）根据当OEAB时，FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可。解：（1）抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点， 解得：，y= x2-x+3；点C的坐标为：（0，3）；（2）当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PAB=90，A（3，0），B（4，1），AM=BM=1，BAM=45，DAO=45，AO=DO，A点坐标为（3，0），D点的坐标为：（0，3），直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：y=-x+3，y= x2- x+3=-x+3，解得：x=0或3，y=3或0（不合题意舍去），P点坐标为（0，3）。当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PBA=90，由（1）得，FB=4，FBA=45，DBF=45，DF=4，D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），直线AD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：y=-x+5，y= x2- x+3=-x+5，解得：x 1=-1，x 2=4，y 1=6，y 2=1，P点坐标为（-1，6），（4，-1），点P的坐标为：（-1，6），（4，-1），（0，3）；（3）作EMBO， 当OEAB时，FEO面积最小，EOM=45，MO=EM，E在直线CA上，E点坐标为（x，-x+3），x=-x+3，解得：x= ，E点坐标为（ ， ）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用。五、复习建议1.首先要求学生牢固掌握二次函数的基本性质，复习时结合图像加强对相关性质与重要结论的理解与掌握，从解析式、图象、性质三个方面引导学生绘制表格进行知识的整合，由图象看性质便于学生理解和记忆，注重渗透“数形结合”的思想。2.注重夯实基础，熟练掌握有关二次函数的基本知识、基本方法和基本技能，注意二次函数中各知识要点间的联系。3.熟练运用待定系数法确定二次函数关系式，引导学生从题目给出的图象、表格、图形等信息中挖掘已知条件，针对不同的条件进行强化训练。4.重视问题情境的创设和实际问题的解决，结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，强化函数思想方