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第二节常数项级数收敛的判别法,一、正项级数及其收敛性判别法二、交错级数及其收敛性判别法三、绝对收敛与条件收敛四、小结、思考题、作业,一、正项级数及其收敛性判别法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,基本定理（正项级数收敛判别法则）,部分和数列为单调增加数列.,推广：同号级数,例1.判定的敛散性.,解,由基本定理知,故级数的部分和,该正项级数收敛.,由于,证明,即部分和数列有界,3.比较判别法,不是有界数列,定理证毕.,比较判别法的不便:,须有参考级数.,解,由图可知,重要参考级数:几何(等比)级数,p-级数,调和级数.,证明,4.比较判别法的极限形式:,证明,由比较审敛法的推论,得证.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,收敛,发散,达朗贝尔判别法的优点:,不必找参考级数.,2.若用达朗贝尔判别法判定级数发散,级数的通项un不趋于零.,后面将用到这一点.,1.适用范围：,的若干连乘积(或商),的形式.,因为：,解,比值判别法失效,改用比较判别法,例.利用级数收敛性,证明,证,考查级数,由于,故级数收敛.,由级数收敛的必要条件知,级数收敛.,二、交错级数及其收敛性判别法,定义:正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,解,原级数收敛.,一个基本例子：,三、绝对收敛与条件收敛,定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,判别级数是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?,早期研究生考试题,解,因为,练习,为交错级数.,正,根据比较判别法的极限形式:,知,发散.,即原级数不是绝对收敛.,(1),因为,为交错级数.,由于,(2),所以级数收敛,且为条件收敛.,故级数满足莱布尼茨定理的两条件,通常先考查它,若使用比值法或,根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋于零),对交错级数,利用无穷级数的性质1、2将级数,如不是绝,对收敛的,再看它是否条件收敛.,便可断言级数发散.,可用,莱布尼茨定理.,然后讨论敛散性也是常用手段.,拆开为两个级数,(用正项级数的审敛法),讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛,四、小结,正项级数审敛法的思维程序,1.,2.,若,比值、根值法;,若失效,3.,比较审敛法的极限形式,4.,5.,充要条件,6.,按基本性质,7.,?,比较审敛法,发散;,任意项级数审敛法的思维程序,3.交错级数(莱布尼茨定理),1.,?,发散,2.绝对
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