杨辉三角好课件

黄梅县第二中学,王自滨,杨辉三角,研究性课题：,第5行1551,第0行1,杨辉三角,第1行11,第2行121,第3行1331,第4行141,第6行161561,第n-1行1,第n行1,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,一.复习:杨辉三角的基本性质,1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是,2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是,3）杨辉三角具有对称性,4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数即,证明：,2）假设当n=k时等式成立，即,则当n=k+1时，,1)当n=1时，,左边a+b,右边a+b,所以等式成立,利用组合数的重要性质可得,求证：,中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,1.斐波那契“兔子繁殖问题”:,二.引入:,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，,2.杨辉三角与弹子游戏,如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品低于中间区奖品？,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？,A,B,3.杨辉三角与“纵横路线图”,从某种意义上说,发现问题更重要.,第5行1551,第0行1,第1行11,第2行121,第3行1331,第4行141,第6行161561,第n-1行1,第n行1,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.,1.研究斜行规律：,第一条斜线上：,第二条斜线上：,第三条斜线上：,第四条斜线上：,猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于,1+1+1+1+1+1=6,1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20,1+4+10=15,第m+1条斜线上的第n个数.,1111（第1条斜线）,1410（第4条斜线）,136（第3条斜线）,123（第2条斜线）,(nr),?,结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数,即,根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。,1,2,5,第5行15101051,第6行1615201561,第7行172135352171,第1行11,第0行1,第2行121,第3行1331,第4行14641,1,3,8,13,21,34,2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第8行18285670562881,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;,这就是著名的斐波那契数列。,中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，,1.斐波那契“兔子繁殖问题”,四.应用:,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品低于中间区奖品？,“概率三角形”,照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？,与杨辉三角有何关系？,2.杨辉三角与弹子游戏,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？,A,B,由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,3.杨辉三角与“纵横路线图”,五、小结,2、杨辉三角蕴含的数字排列规律,1、杨辉三角蕴含的基本性质,杨辉三角的其它规律,第0行1,第1行11,第2行121,第3行1331,第4行14641,第5行15101051,第6行1615201561,第n-1行1,1,第n行1,1,第7行172135352171,杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是,质数(素数),华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界数学行列最杰出的代表,是中国数学竞赛的创始人。他在数论、典型群、高维数值积分等方面作出了卓越的贡献，撰写了不少高质量专著、论文和科普著作。,在他的科普著作从杨辉三角谈起中，对杨辉三角的构成，提出了一种有趣的看法。,（04.上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14与第15个数的比为.,34,练习1:,则第n行（n2）第2个数是什么？,分析:设第n行的第2个数为an,则a2=2,an+1=an+nan=2+2+3+(n-1),练习3：,则表中各数按从小到大的顺序排列，第100个数是多少？,分析