高等数学期中复习题.ppt

期中复习题,第一章、第二章,一、极限求法及相关问题,例1：求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（7）（8）（9）（10）,（10）,（7）,（8）,（9）,（6）,分析：求极限，首先要弄清楚是哪种情况,一般是有以下几种情形：（1）是一些易求函数（即可以直接求出极限）的函数乘积或和差问题，利用四则运算求出来；（2）是否是这种形式：0-0，一般要将它进行运算，如通分、分解因式，变成，然后求极限；（3）对于要学会去零因子和分子，分母同除以某一个式子，以及等价无穷小代换（4）对于连乘积或和的形式，设法将其变为有限项的乘积与和的问题，注意变形技巧的应用（5）对于形式的极限要与重要极限联系，设法变成那种形式（6）对于，取对数后求极限或利用重要极限；（7）夹逼定理应用,解:（1）原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式=(5)原式=,(6)令则所以而所以，原式=a(7)原式=,(8)法1:原式=法2：令则所以,(9)原式=(10)原式=,例2：(1)已知(2)已知当取何值时，为无穷小，取何值时为无穷大分析：这是逆向极限问题，可以依照极限存在条件和将极限表示为未知参数的代数式，构造方程组求解,解：(1)由条件有所以，有，解之得(2)有条件有,所以q=0,p=-5,所以p为任意实数，q为不等于0的实数,例3：(1)当相比较，下列结论成立的是（A）a是b的高阶无穷小；Ba是b的低阶无穷小Ca与b是同阶无穷小；Da与b是等价无穷小（2）当是的高阶无穷小，它与是等价的无穷小量。解：因为,例4：(1)考察函数在x=0处的连续性。(2)考察函数在x=0处的可导性(3)试确定c使函数在内连续,（4）试确定a,b，使在x=0处可导。,解：（1）因为，所以函数是连续的。（2）因为所以，函数在x=0处不可导,（3）分析：首先注意到函数是偶函数，所以，只需考察x=c处的连续性就可以了。解：因为所以，由连续性有解之得：c=1,解：因函数可导，所以连续，由连续性有由函数可导有：,例5：试确定下列函数指定点是否间断，若是，指出间断点的类型（1）（2）（3）（4）（5）,分析：间断点判定可依如下过程判定，首先，分析所要判定的点是否在定义域内，若不在，必为间断点，此时，计算极限，若存在极限，则为可取间断点；若极限不存在，计算左右极限，若左右极限均存在，但不相等，则为跳跃间断点；若有一个不存在，是其是否为无穷大，若为无穷大，则为无穷间断点，否则，则为振荡间断点。如果所分析的点在定义域内，计算左右极限判定,解：（1）因为所以，x=1是可去间断点，x=3是无穷间断点（2）当k=0时，所以，x=0是可去间断点，当时，所以，是无穷间断点，当时，是可去间断点,（3）因为，时，有时，有可知，左、右极限均不存在，所以，是振荡间断点（4）由条件有所以，x=1,-1是跳跃间断点,解：（5）因为所以，x=0是无穷间断点。又X=1是跳跃间断点。,例6（1）设函数在0,2a连续，且证明：方程在0,a内至少有一个根（2）证明：方程存在唯一的实根，且此根在0与1之间。（3）设函数对任意实数，都有且证明：函数可导，且导数恒为1,（1）证明：令由在上连续，所以在连续，而因为所以，在内至少有一点，使即结论成立。,（2）证明：令，注意到当时，恒有，任取设，则当时，即f(x)在上单调递增，而f(0)=-1,f(1)=1,又f(x)连续，所以存在一点且仅有一点，使结论成立。,（3）证明：令，由条件有由导数定义有由此可知，结论成立。,例7：（1）其中存在且不为0；求（2）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设求（3）试从导出,（1）解：因(2)解：由，可得，x=0时,y