第3章-1-傅里叶变换与正交函数集.ppt

1,第三章信号与系统的频域分析,变换域分析就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号，或者说，信号用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。采用变换域分析的目的：简化分析。傅立叶变换主要从信号频率分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。,2,信号的频域分析,连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频谱常见连续时间信号的频谱连续时间Fourier变换的性质离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析,3,连续周期信号的频域分析,周期信号的傅立叶级数展开周期信号的频谱及其特点傅里叶级数的基本性质周期信号的功率谱,4,数学基础：信号表示为正交函数集,信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。,（一）矢量的分量和矢量的分解,矢量在矢量上的分量示意图,图(a)中,5,用分量来近似代表原矢量的误差矢量。,图中为在上的斜投影，可有无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量时，都大于。,结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。,图(a)中,6,从几何图上可得：,从解析角度：则令也可导出,是在最小平方误差的意义上标志着和相互近似程度。,7,8,平面矢量分解图,和是一组模为1的正交矢量,9,空间中的矢量分解图,10,矢量空间的概念可以引申到n维。设n维正交矢量集为,即,则,11,（二）信号的分量和信号的分解,信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是函数的分解。,1、函数的分量,设在区间内，用函数在另一函数中的分量来近似的代表原函数。,取何值时，得到最佳近似？,12,选择误差函数的方均值为最小。,即,13,令,解得,是在最小方均误差的意义上代表二函数和间的相关联的程度。,14,称和在区间内为正交，构成了一个正交函数集。,称与正交，组成正交矢量。,15,例1：,试用正弦函数sint在区间（0，2）内来近似表示此函数，使均方误差最小。,16,所以,解：,在区间内近似为,17,例2：试用函数在区间内近似表示,解：,也即cost不包含sint分量，或说cost与sint正交。,18,一、周期信号的傅立叶级数展开,正交函数:,如果函数在满足关系式：则称两个函数在区间上正交。,19,一、周期信号的傅立叶级数展开,函数集的正交性:,如果函数集满足关系式：则称该函数集在区间上正交。,20,一、周期信号的傅立叶级数展开,完备正交函数集:,如果在正交函数集之外，不存在，满足：则称该函数集为完备正交函数集。,三角函数集在区间组成完备正交集,复指数函数集在区间组成完备正交集,21,3.1周期信号的傅里叶级数,1822年法国数学家傅里叶（17681830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理。,三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集,1、三角函数集：,一、周期信号的傅立叶级数展开,22,23,24,25,26,一、周期信号的傅立叶级数展开,1.周期信号展开为傅立叶级数条件周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即：(1)绝对可积，即满足(2)在一个周期内只有有限个不连续点，且在不连续点值有限；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。,注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件；条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。,任何周期信号满足上述条件，即可展开为完备正交函数现行组合的无穷级数，称为傅立叶级数。,傅立叶级数复指数形式：傅立叶级数复指数形式：,27,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义,(1)从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,(2)从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。,连续周期信号的频域分析,28,傅立叶级数,29,傅立叶级数,30,傅立叶级数,31,2.三角形式傅立叶级数,连续时间周期信号可以用三角形式傅立叶级数表示为：,32,2.三角形式傅立叶级数,33,3.指数形式傅立叶级数,连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为,其中,两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量,的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量,的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量,物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。,34,由三角形式指数形式傅立叶级数,令,已知三角形式傅立叶级数表示为：,由欧拉公式可知：,且,35,由三角形式指数形式傅立叶级数,令,且,令,且,由此得到傅立叶级数复指数形式表示为：,36,由指数形式三角形式傅立叶级数,若f(t)为实函数，则有,利用这个性质可以将指数Fo