Char06-数学分析

第6章数学分析,教学目标,学会用MATLAB求解工程计算中涉及到的各种微积分问题，并掌握其中的方法与技巧；加深对数学分析在工程应用中的理论理解。,主讲内容,6.1极限、导数与微分6.2积分6.3级数求和6.4Taylor展开6.5Fourier展开6.6积分变换6.7多元函数分析6.8多重积分,6.1极限、导数与微分,主要讲述如何利用MATLAB研究某一函数随自变量的变化趋势与相应的变化率的问题，即函数的极限与导数问题。,6.1.1极限,极限是数学分析最基本的概念与出发点。用limit命令可以轻松的解决其求解问题。limit(F,x,a)limit(F,a)limit(F)limit(F,x,a,right)limit(F,x,a,left),6.1.1极限,【例61】计算,clearclcsymsx;f=sin(x)/x;limit(f)结果：ans=1,【例62】计算,symsn;aa=limit(1+1/n)n,inf)结果：aa=exp(1),6.1.1极限,【例】计算,symsxy;f=(exp(x)+exp(y)/(cos(x)-sin(y);aa=limit(limit(f,x,0),y,0)答案：aa=2,6.1.2导数与微分,函数求导命令：diffY=diff(X)Y=diff(X,n)Y=diff(X,n,dim)Y=diff(X)calculatesdifferencesbetweenadjacentelementsofX.Y=diff(X,n)appliesdiffrecursivelyntimes,resultinginthenthdifference.Thus,diff(X,2)isthesameasdiff(diff(X),6.1.2导数与微分,【例64】计算导数。,【例65】计算3阶导数。,clearsymsxf=2x+x(1/2)*log(x);diff(f)ans=2x*log(2)+1/2/x(1/2)*log(x)+1/x(1/2),clearsymsxf=sin(2*x+3);diff(f,3)ans=-8*cos(2*x+3),6.1.2导数与微分,【例66】计算对x、y的1阶、2阶偏导数。,clearsymsxyf=log(exp(2*(x+y2)+(x2+y)+sin(1+x2);fx=diff(f,x)fy=diff(f,y)fxy=diff(fx,y)fyx=diff(fy,x)fxx=diff(fx,x)fyy=diff(fy,y)fxx=diff(f,x,2)fyy=diff(f,y,2),1）在MATLAB中，使用diff函数求解数值微分，格式如下：diff(x)命令求向量x的微分，所得值为x(2)-x(1)x(3)-x(2)x(n)-x(n-1)；diff(x)命令求矩阵x的微分，所得值为x(2)-x(1)x(3)-x(2)x(n)-x(n-1)；diff(x,n)和diff(x,n,DIM)命令用来求n阶差分值。DIFFDifferenceandapproximatederivative.DIFF(X),foravectorX,isX(2)-X(1)X(3)-X(2).X(n)-X(n-1).DIFF(X),foramatrixX,isthematrixofrowdifferences,X(2:n,:)-X(1:n-1,:).DIFF(X),foranN-DarrayX,isthedifferencealongthefirstnon-singletondimensionofX.DIFF(X,N)istheN-thorderdifferencealongthefirstnon-singletondimension(denoteitbyDIM).,6.1.3数值微分(补充),【例】diff(1:10).2)ans=35791113151719(1:10).2ans=149162536496481100,6.1.3数值微分(补充),6.2积分,积分与微分不同，理论上可以用牛顿莱布尼兹公式求解对已知函数的积分，但实际中遇到的大多函数都不能找到其积分函数，有些函数的表达式非常复杂，用牛顿莱布尼兹公式求解会相当复杂。所以，在工程中大多数情况下都使用MATLAB提供的积分运算函数计算。,6.2.1定积分与广义积分,int命令：可以很容易地求出已知函数在已知区间的积分值。使用格式：int(f,a,b)int(f,x,a,b),vpaVariableprecisionarithmeticR=vpa(A)R=vpa(A,d)vpa(A)usesvariable-precisionarithmetic(VPA)tocomputeeachelementofAtoddecimaldigitsofaccuracy,wheredisthecurrentsettingofdigits.Eachelementoftheresultisasymbolicexpression.vpa(A,d)usesddigits,insteadofthecurrentsettingofdigits.,ExamplesThestatementsdigits(25)q=vpa(sin(sym(pi)/6)p=vpa(pi)w=vpa(1+sqrt(5)/2)returnq=.5000000000000000000000000p=3.141592653589793238462643w=1.618033988749894848204587,6.2.1定积分与广义积分,【例67】求积分。,【例68】求积分。,symsx;v=int(sin(x)/x,0,1)vpa(v)计算结果：v=sinint(1)ans=.94608307036718301494135331382318,clearsymsx;v=int(exp(-2*x),0,1)vpa(v)计算结果：v=-1/2*exp(-2)+1/2ans=.43233235838169365405300025251376,clearsymsx;int(1/x,1,inf)symx;v=int(1/(1+x2),1,inf)vpa(v)计算结果：ans=Infv=1/4*pians=.78539816339744830961566084581988,6.2.1定积分与广义积分,Int函数还可以求广义积分，方法是只要将相应的积分限该为正（负）无穷即可。,【例69】,6.2.1定积分与广义积分,【例611】,symsx;f=1/(x2+2*x+3);v=int(f,-inf,inf)vpa(v)v=1/2*pi*2(1/2)ans=2.2214414690791831235079404950304,6.2.2不定积分,利用int命令同样可以求不定积分。int(f)int(f,x),【例612】求sin(xy+z+1)的不定积分。,【例613】求sin(xy+z+1)对z的不定积分。,clearsymsxyzint(sin(x*y+z+1),z)ans=-cos(x*y+z+1),clearsymsxyzf=sin(x*y+z+1);int(f)ans=-1/y*cos(x*y+z+1),1）对向量（矩阵）x，cumsum(x)命令返回一个向量（矩阵），该向量（矩阵）的第N个元数是x的前N个元数的和。CUMSUMCumulativesumofelements.Forvectors,CUMSUM(X)isavectorcontainingthecumulativesumoftheelementsofX.Formatrices,CUMSUM(X)isamatrixthesamesizeasXcontainingthecumulativesumsovereachcolumn.,6.2.3函数的数值积分,【例】x1=12345678x1=12345678cumsum(x1)ans=1361015212836,【例】x2=123;456;789x2=123456789cumsum(x2)ans=123579121518,cumsum(x2,1)ans=123579121518cumsum(x2,2)ans=136491571524,6.2.3函数的数值积分(补充),6.3级数求和,6.3.1有限项级数求和r=symsum(s)r=symsum(s,v)r=symsum(s,a,b)r=symsum(s,v,a,b)Descriptionsymsum(s)isthesummationofthesymbolicexpressionswithrespecttoitssymbolicvariablekasdeterminedbyfindsymfrom0tok-1.symsum(s,v)isthesummationofthesymbolicexpressionswithrespecttothesymbolicvariablevfrom0tov-1.symsum(s,a,b)andsymsum(s,v,a,b)arethedefinitesummationsofthesymbolicexpressionfromv=atov=b.,6.3级数求和,【例614】求级数s=an+bn的前n-1项和(n从0开始)。,symsabns=an+b*n;symsum(s)ans=1/2*(2*an+b*n2*a-b*n2-b*n*a+b*n)/(a-1),【例615】求级数s=sinnx的前n-1项和(n从0开始)。,symsnxs=sin(n*x);symsum(s,n)ans=-1/2*sin(n*x)+1/2*sin(x)/(cos(x)-1)*cos(n*x),【例616】求级数s=2sinnx的前n-1项和(n从0开始)，并求它的前10项和的值。,symsns=2*sin(2*n)+4*cos(4*n)+2n;sum_n=symsum(s)sum10=symsum(s,0,10)vpa(sum10)sum_n=(-2*sin(n)*cos(n)*cos(1)3+2*sin(n)*cos(n)*cos(1)+2*cos(1)2*sin(1)*cos(n)2+8*sin(1)*sin(n)*cos(n)*cos(1)2-4*sin(1)*sin(n)*cos(n)+16*cos(n)2*cos(1)3-16*cos(n)2*cos(1)-16*cos(n)4*cos(1)3+16*cos(n)4*cos(1)-4*n*cos(1)+20*n*cos(1)3-32*n*cos(1)5+16*n*cos(1)5*sin(1)2-16*n*cos(1)3*sin(1)2+4*n*cos(1)*sin(1)2+16*n*cos(1)7-16*sin(1)*sin(n)*cos(n)3*cos(1)2+8*sin(1)*sin(n)*cos(n)3+2n*cos(1)3-2n*cos(1)/cos(1)/(-1+cos(1)2)sum10=2051+4*cos(8)+2*sin(6)+4*cos(12)+2*sin(8)+4*cos(16)+2*sin(10)+4*cos(20)+2*sin(12)+4*cos(24)+2*sin(14)+4*cos(28)+2*sin(18)+4*cos(36)+2*sin(20)+4*cos(40)+2*sin(2)+2*sin(16)+4*cos(32)+4*cos(4)+2*sin(4)ans=2048.2771219312785147716264587939,6.3.2无穷级数求和,Symsum命令还可以求无穷级数的和。,【例617】,symsns1=1/n;v1=symsum(s1,1,inf)clearsymsns2=1/n3;v2=symsum(s2,1,inf)vpa(v2)v1=Infv2=zeta(3)ans=1.2020569031595942853997381615115,6.4Talor展开,Taylor级数展开是一种用简单函数逼近(近似表示)复杂函数的一种基本方法。6.4.1Taylor定理问题的提出Taylor中值定理简单应用,（如下图）,1、低次多项式近似,存在不足：以直代曲近似,精确度不高；,误差不能估计。,思路:,2、高次多项式近似,提出问题:,分析:,假设的理由,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在点相交,2、高次多项式近似,多项式系数的确定,下面定理表明，上式多项式即为要找的n次多项式。,2、高次多项式近似,3、泰勒中值定理及泰勒公式,定理的证明:,只需证明,3、泰勒中值定理及泰勒公式,注意：称下式为f(x)按(x-x0)幂展开n次近似多项式,称下式为f(x)按(x-x0)幂展开n阶泰勒公式,3、泰勒中值定理及泰勒公式,带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式,3、泰勒中值定理及泰勒公式,带拉氏余项的麦克劳林(Maclaurin)公式,带佩氏余项的麦克劳林(Maclaurin)公式,4、麦克劳林公式,解,代入公式，得,由公式可知,估计误差,其误差,4、麦克劳林公式,解,等等，它们顺序循环地取四个数0,1,0,-1，于是得,其中,其误差,5、常用函数的麦克劳林公式,6.4.2MATLAB实现方法,用taylor命令来实现Talor展开r=taylor(f)r=taylor(f,n,v)r=taylor(f,n,v,a)Descriptiontaylor(f,n,v)returnsthe(n-1)-orderMaclaurinpolynomialapproximationtof,wherefisasymbolicexpressionrepresentingafunctionandvspecifiestheindependentvariableintheexpression.vcanbeastringorsymbolicvariable.taylor(f,n,v,a)returnstheTaylorseriesapproximationtofabouta.Theargumentacanbeanumericvalue,asymbol,orastringrepresentinganumericvalueoranunknown.,6.4.2MATLAB实现方法,【例6-18】求e-x的6阶麦克劳林型近似展开。,symsxf=exp(-x);f6=taylor(f)f6=1-x+1/2*x2-1/6*x3+1/24*x4-1/120*x5,6.4.2MATLAB实现方法,【例6-19】对于f(x)=asinx+bcosx:(1)求f(x)的10阶麦克劳林型近似展开。(2)求f(x)在/2处的10阶麦克劳林型近似展开。,symsabxf=a*sin(x)+b*cos(x);f1=taylor(f,10)f2=taylor(f,10,pi/2)f1=b+a*x-1/2*b*x2-1/6*a*x3+1/24*b*x4+1/120*a*x5-1/720*b*x6-1/5040*a*x7+1/40320*b*x8+1/362880*a*x9f2=a-b*(x-1/2*pi)-1/2*a*(x-1/2*pi)2+1/6*b*(x-1/2*pi)3+1/24*a*(x-1/2*pi)4-1/120*b*(x-1/2*pi)5-1/720*a*(x-1/2*pi)6+1/5040*b*(x-1/2*pi)7+1/40320*a*(x-1/2*pi)8-1/362880*b*(x-1/2*pi)9,6.4.2MATLAB实现方法,【例6-20】对于f(x)=xy关于y在0处的4阶Taylor展开，关于x在1.5处的4阶Taylor展开。,symsxyf=xy;f1=taylor(f,y,4)f2=taylor(f,4,x,1.5)f1=1+log(x)*y+1/2*log(x)2*y2+1/6*log(x)3*y3f2=(3/2)y+2/3*(3/2)y*y*(x-3/2)+2/9*(3/2)y*y*(y-1)*(x-3/2)2+4/81*(3/2)y*y*(y-1)*(y-2)*(x-3/2)3,6.5Fourier展开,6.5.1Fourier级数理论,（1）三角级数,（2）三角函数系的正交性,（3）函数展开成傅立叶级数,三角级数,三角级数,（1）三角级数,三角函数系,（2）三角函数系的正交性,正交性,（2）三角函数系的正交性,问题:,2.展开的条件是什么?,1.傅里叶系数,假设上述级数可以逐项积分.,（3）函数展开成傅里叶级数,（3）函数展开成傅里叶级数,（3）函数展开成傅里叶级数,傅里叶系数,傅里叶级数,（3）函数展开成傅里叶级数,6.5.2MATLAB实现方法,MATLAB中不存在现成的Fourier级数展开命令，我们可以根据Fourier级数的定义编写一个函数文件来完成这个计算。,functiona0,an,bn=Fourierzpi(f)symsxna0=int(f,0,2*pi)/pi;an=int(f*cos(n*x),0,2*pi)/pi;bn=int(f*sin(n*x),0,2*pi)/pi;,6.5.2MATLAB实现方法,【例6-21】计算f(x)=x2的区间0,2上的Fourier系数。,clearsymsxf=x2;a0,an,bn=Fourierzpi(f)计算结果：a0=8/3*pi2an=4*(2*n2*pi2*sin(pi*n)*cos(pi*n)-sin(pi*n)*cos(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n)2-pi*n)/n3/pibn=-4*(2*n2*pi2*cos(pi*n)2-n2*pi2-cos(pi*n)2+1-2*pi*n*sin(pi*n)*cos(pi*n)/n3/pi,6.6积分变换,积分变换是一个非常重要的工程计算手段。它通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数，使函数的求解更为简单。最重要的积分变换有Fourier变换、Laplace变换等。,频域分析,傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,恩格斯(Engels)把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel)的辩证法相提并论.他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗.,发展历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,傅里叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中,傅里叶(JeanBaptiseJosephFourier17681830),法国数学家。1768年3月21日生于奥塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎综合工科学校任讲师。1798年随拿破仑远征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学院院士。,在十八世纪中期，是否有用信号都能用复指数的线性组合来表示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年，D.伯努利曾声称一根弦的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示，但他没有继续从数学上深入探求下去；后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。,在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在热的分析理论这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。,书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展；其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,6.6.0傅立叶变换理论基础,6.6.0.1傅立叶积分6.6.0.2傅立叶变换,6.6.0.1傅立叶积分,（1）主值意义下的广义积分定义1设函数在实轴的任何有限区间上都可积.若极限存在,则称在主值意义下在区间上的广义积分收敛,记为,例1计算为实常数）解我们可以证明为实数)令则,例2设计算积分解,上式(1)称为函数的复指数形式的傅里叶积分公式,而等号右端的积分式称为的傅里叶积分(简称傅氏积分).,从例2可以看出,函数存在如下关系,若函数在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：1）连续或只有有限个第一类间断点，2)至多有有限个极值点,并且在上绝对可积则有：,（2）傅氏积分存在定理,为连续点,为间断点,也叫做的傅氏积分表达式,（1）傅立叶变换的概念,6.6.0.2傅立叶变换,叫做,的傅氏变换,象函数,可记做,=,叫做,的傅氏逆变换,象原函数,=,例3求函数的傅氏变换,解,例4求函数的傅氏变换和傅氏积分表达式.,解,若上式右端为,于是,（2）傅氏变换的物理意义频谱,称为,的频谱函数,其模,称为,的振幅频谱,可以证明,频谱为偶函数,即,实形式的Fourier积分与Fourier变换,6.6.0.2Fourier积分变换,Fourier积分定理,复形式的Fourier积分与Fourier变换,F()被称为Fourier变换,Fourier积分定理被称为反演公式,6.6.1Fourier积分变换,fourierFourierintegraltransform.F=fourier(f)F=fourier(f,v)F=fourier(f,u,v),Fourier命令调用格式,F=fourier(f)istheFouriertransformofthesymbolicscalarfwithdefaultindependentvariablex.Thedefaultreturnisafunctionofw.TheFouriertransformisappliedtoafunctionofxandreturnsafunctionofw.,Iff=f(w),fourierreturnsafunctionoft.,Bydefinition,wherexisthesymbolicvariableinfasdeterminedbyfindsym.F=fourier(f,v)makesFafunctionofthesymbolvinsteadofthedefaultw.,F=fourier(f,u,v)makesfafunctionofuandFafunctionofvinsteadofthedefaultvariablesxandw,respectively.,6.6.1Fourier积分变换,【例623】计算Fourier变换。,【例624】计算Fourier变换。,clearsymsxf=exp(-x2);Fourier(f)计算结果：ans=pi(1/2)*exp(-1/4*w2),clearsymswf=exp(-abs(w);Fourier(f)计算结果：ans=2/(1+t2),6.6.1Fourier积分变换,【例625】计算Fourier变换。,【例626】计算Fourier变换x是实数。,clearsymsxuf=x*exp(-abs(x);Fourier(f,u)计算结果：ans=-4*i/(1+u2)2*u,clearsymsxrealvuf=exp(-x2*abs(v)*sin(v)/v;Fourier(f,v,u)计算结果：ans=1/2*i*(-fourier(exp(-x2*abs(v)/v*exp(i*v),v,u)+fourier(exp(-x2*abs(v)/v*exp(-i*v),v,u),6.6.2Fourier逆变换,ifourierInverseFourierintegraltransform.f=ifourier(F)f=ifourier(F,u)f=ifourier(F,v,u),f=ifourier(F)istheinverseFouriertransformofthescalarsymbolicobjectFwithdefaultindependentvariablew.Thedefaultreturnisafunctionofx.TheinverseFouriertransformisappliedtoafunctionofwandreturnsafunctionofx.,IfF=F(x),ifourierreturnsafunctionoft.,Bydefinition,f=ifourier(F,u)makesfafunctionofuinsteadofthedefaultx.,Hereuisascalarsymbolicobject.f=ifourier(F,v,u)takesFtobeafunctionofvandftobeafunctionofuinsteadofthedefaultwandx,respectively.,【例625】计算Fourier变换。,【例626】计算Fourier变换x是实数。,clearsymsawrealf=exp(-w2/(4*a2);F=iFourier(f),clearsymsxrealg=exp(-abs(x);iFourier(g)计算结果：ans=1/(1+t2)/pi,6.6.3快速Fourier变换,离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。,6.4.4Laplace变换,laplaceLaplacetransform.laplace(F)laplace(F,t)fourier(F,w,z),L=laplace(F)istheLaplacetransformofthescalarsymbolFwithdefaultindependentvariablet.Thedefaultreturnisafunctionofs.TheLaplacetransformisappliedtoafunctionoftandreturnsafunctionofs.,IfF=F(s),laplacereturnsafunctionoft.,Bydefinition,wheretisthesymbolicvariableinFasdeterminedbyfindsym.L=laplace(F,t)makesLafunctionoftinsteadofthedefaults.,HereLisreturnedasascalarsymbol.L=laplace(F,w,z)makesLafunctionofzandFafunctionofwinsteadofthedefaultvariablessandt,respectively.,【例634】计算Laplace变换。,【例635】计算Laplace变换x是实数。,clearsymstf=t4;Laplace(f)ans=24/s5,clearsymssg=1/sqrt(s);Laplace(g)计算结果：ans=(pi/t)(1/2),6.6.5Laplace逆变换,ilaplaceInverseLaplacetransformF=ilaplace(L)F=ilaplace(L,y)F=ilaplace(L,y,x),F=ilaplace(L)istheinverseLaplacetransformofthescalarsymbolicobjectLwithdefaultindependentvariables.Thedefaultreturnisafunctionoft.TheinverseLaplacetransformisappliedtoafunctionofsandreturnsafunctionoft.,IfL=L(t),ilaplacereturnsafunctionofx.,Bydefinition,wherecisarealnumberselectedsothatallsingularitiesofL(s)aretotheleftofthelines=c,i.F=ilaplace(L,y)makesFafunctionofyinsteadofthedefaultt.,Hereyisascalarsymbolicobject.F=ilaplace(L,y,x)takesFtobeafunctionofxandLafunctionofyinsteadofthedefaultvariablestands,respectively.,【例637】计算Laplace变换。,【例638】计算Laplace变换x是实数。,clearsymssf=1/(s2);iLaplace(f)ans=t,clearsymsatg=1/(t-a)2;iLaplace(g)ans=x*exp(a*x),6.7多元函数分析,主要对Matlab求解多元函数偏导数问题以及求解多元函数最值的命令进行介绍。,6.7.1多元函数的偏导,求偏导数的命令：jacobianJacobianmatrixR=jacobian(f,v)jacobian(f,v)computestheJacobianofthescalarorvectorfwithrespecttov.The(i,j)-thentryoftheresultis.Notethatwhenfisscalar,theJacobianoffisthegradientoff.Also,notethatvcanbeascalar,althoughinthatcasetheresultisthesameasdiff(f,v).,【例640】计算f(x,y,z)的jacobi矩阵。,【例641】计算f(x,y,z)的偏导数。,clearsymsxyzf=x*y*z;y;x+z;v=x,y,z;jacobian(f,v)ans=y*z,x*z,x*y0,1,01,0,1,clearsymsxyzf=x2+81*(y+1)2+sin(z);v=x,y,z;jacobian(f,v)ans=2*x,162*y+162,cos(z),6.7.2多元函数的梯度,专门对实数矩阵求梯度的命令：gradientNumericalgradientFX=gradient(F)FX,FY=gradient(F)Fx,Fy,Fz,.=gradient(F).=gradient(F,h).=gradient(F,h1,h2,.),【例640】计算的数值梯度。,clearv=-2:0.2:2;x,y=meshgrid(v);z=x.*exp(-x.2-y.2);px,py=gradient(z,0.2,0.2);contour(v,v,z),holdon,quiver(v,v,px,py),holdoff,6.8多重积分,多重积分与一重积分在本质上是相同的，但是多重积分的积分区域更为复杂。可以利用前面讲过的int命令，结合对积分区域的分析进行多重积分计算，也可以利用Matlab专门函数计算。,一、利用直角坐标计算二重积分,如果区域D可以表示为不等式j1(x)yj2(x),axb,则称区域D为X型区域.,X型区域与Y型区域,如果区域D可以表示为不等式y1(y)xy2(y),cyd,则称区域D为Y型区域.,有的区域既是X型区域又是Y型区域,而有的区域既不是X型区域又不是Y型区域,但它总可以表示为若干个X型区域和Y型区域的并.,提示zf(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.,提示截面是以区间j1(x0),j2(x0)为底、以曲线zf(x0,y)为曲边的曲边梯形.,提示根据平行截面面积为已知的立体体积的求法.,设f(x,y)0,D=(x,y)|j1(x)yj2(x),axb.,二重积分的计算,对于x0a,b,曲顶柱体在xx0的截面面积为,曲顶柱体体积为,注计算一般二重积分只需取消f(x,y)0的限制.,设f(x,y)0,D=(x,y)|j1(x)yj2(x),axb.,二重积分的计算,对于x0a,b,曲顶柱体在xx0的截面面积为,曲顶柱体体积为,即,如果D是X型区域:D=(x,y)|j1(x)yj2(x),axb,则,上式也可以记为,如果D是Y型区域:D=(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd,则,二重积分的计算,先对x后对y的二次积分,先对y后对x的二次积分,如果D是X型区域:j1(x)yj2(x),axb,则,计算二重积分的步骤,如果D是Y型区域:y1(y)xy2(y),cyd,则,(1)画出积分区域D的草图.,(2)用不等式组表示积分区域D.,(3)把二重积分表示为二次积分:,(4)计算二次积分.,6.8.1二重积分,进行二重积分数值计算的专门命令：dblquad。这是一个在矩形范围内计算二重积分的命令。Numericallyevaluatedoubleintegralq=dbl