北京理工大学工科数学分析2-2求导法则和求导基本公式

2求导法则和求导基本公式,四则运算反函数求导复合函数求导高阶导数,思路:,(构造性定义),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,一.四则运算,定理,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,故结论成立.,例如,(2),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),(3),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),推论,例1.,解:,例2.求证,证:,类似可证:,定理:,证明：,由反函数单调性,由反函数连续性知，,二.反函数求导,即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,Oct.24Wed.Review,一.导数概念,等价定义：,二.几何意义,三.可导与连续的关系,四.单侧导数,2.右导数:,1.左导数:,定理：,五.一些简单函数的导数,六.导数四则运算法则,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,七.反函数求导,八.复合函数的求导法则,例3.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,利用,则,类似可求得：,例4设,则,小结:,三.复合函数求导,即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),定理:,证明:,在点u可导,故,（当时),故有,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,例1.求下列导数:,解:(1),(2),(3),说明:类似可得,例2.设,求,解:,思考:若,存在,如何求,例3.设,解:,记,则,(反双曲正弦),的反函数,解：,解：,例6.,证明：,Hwp991(双),2(2),3(2,3),5,8,10,11(2),12(2).,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数,2.有限次四则运算的求导法则,(C为常数),3.复合函数求导法则,4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,例1.,求,解:,例2.,设,解:,求,1.导数四则运算,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,Oct.17Mon.Review,2.反函数求导,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,例3.,求,解:,关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导,解:,幂指函数用对数求导法则。,例5.设,解：,例6.设,解:,求,小结,1.反函数的求导法则（注意成立条件）;,2.复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;,已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.,1.常数和基本初等函数的导数公式,2.函数的和、差、积、商的求导法则,Hw：p991(双)，2(2),3(2,3),5,8,10,11(2),12(2).,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,五.高阶导数,1.概念,问题:变速直线运动的加速度.,定义:,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,2.二阶导数的力学意义：瞬时加速度。,例,注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),设,求,解:,依次类推,例1.,思考:设,问,可得,例2.设,求,解:,特别有:,解:,规定0!=1,思考:,例3.设,求,例4.设,求,解:,假设,一般地,类似可证:,则:,例5.设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在.,2,又,阶数,3.运算规则,Leibniz莱布尼兹公式,例1.,求,解:设,则,代入莱布尼兹公式,得,例2.设,求,解:,即,用莱布尼兹公式求n阶导数,令,得,由,得,即,由,得,即