复变函数论第三版钟玉泉第7章

1,2020/5/30,7.1解析变换的特性,7.1.1解析变换的保域性7.1.2解析变换的保角性7.1.3单叶解析变换的共形性,第七章共形映射,2,2020/5/30,定理7.1(保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.,证首先证明G的每一点都是内点.,设w0G,则有一点z0D,使w0=f(z0).,要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.,即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.,为此,考察f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,),由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,显然f(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外),C及C的内部全含于D,使得,均不为零.因而在C上:,7.1.1解析变换的保域性,内的点w*及在C上的点z有,对在邻域,3,2020/5/30,因此根据儒歇定理,在C的内部,与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.,由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t)t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是：,就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线.,从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到,其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来.（连通性）,一条连接w1,w2,内接于且完全含于G的折线1,总结以上两点,即知G=f(D)是区域.,4,2020/5/30,证因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.,定理7.2设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域.,注定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.,注满足定理7.2和7.3的条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.,定理7.3设函数w=f(z)在点z0解析,且f(z0)0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.,5,2020/5/30,7.1.2解析变换的保角性,导数的几何意义,设w=f(z)于区域D内解析,z0D,在点z0有导数,通过z0任意引一条有向光滑曲线,C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).,因此C在z0有切线,就是切向量,经变换w=f(z),的参数方程应为,它的倾角为,C,w=f(z),C的象曲线,由定理7.3及第三章习题(一)13,在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的.,又由于,故在w0=f(z0)也有切线，,设其倾角为，则,就是切向量,6,2020/5/30,图7.1,且,（7.1）,（7.2）,如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则：,(7.1)说明:象曲线在点的切线正向,可由原曲线C在点的切线正向旋转一个角度得出。,仅与有关,而与经过的曲线C的选择无关,称为变换在点的旋转角。,导数辐角的几何意义.,(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比,的极限是,它仅与有关,而与过的曲线C的,7,2020/5/30,方向无关,称为变换w=f(z)在点的伸缩率.这也就是导数模的几何意义.,上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称为伸缩率不变性.,从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示w=f(z)将处无穷小的圆变成处的无穷小的圆,其半径之比为.,上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.,上式可视为,8,2020/5/30,经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构成的角称为两曲线在该点的夹角.,O,x,(z),z0,定义7.1若函数w=f(z)在点的邻域内有定义,且在点具有:(1)伸缩率不变性;(2)过的任意两曲线的夹角在变换w=f(z)下,既保持大小,又,z0,z0,z0,保持方向;则称函数w=f(z)在点是保角的,或称w=f(z)在点是保角变换.,如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的，则称w=f(z)在区域D内是保角的，或称w=f(z)在区域D内是保角变换.,z0,z0,9,2020/5/30,转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.,通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Argf(z0).,10,2020/5/30,相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性。,y,11,2020/5/30,定理7.4如w=f(z)在区域D内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.,推论7.5如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称w=f(z)在区域D内是保角的.,总结上述讨论，我们有以下结论：,例1求w=f(z)=z3在z=0,z=i处的导数值,并说明几何意义。,解w=f(z)=z3在全平面解析，。,在z=i处具有伸缩率不变和保角性。,伸缩率为3，旋转角为。,12,2020/5/30,定义7.2如果w=f(z)在区域D内是单叶且保角的,则称此变换w=f(z)在D内是共形的,也称它为D内的共形映射.,7.1.3单叶解析变换的共形性,定理7.6设w=f(z)在区域D内单叶解析.则(1)w=f(z)将D共形映射成区域G=f(D).(2)反函数在区域G内单叶解析,且,证(1)由推论7.2,G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D共形映射成G.,(2)由定理6.11,又因w=f(z)是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.,于是,当时,即反函数在区域G内单叶.故,13,2020/5/30,由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即在D内满足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故,由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点及其一个邻域内为连续，即在邻域中,当时,必有,故,即,14,2020/5/30,在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.,定理的几何意义.,15,2020/5/30,16,2020/5/30,第二节分式线性变换,7.2.1分式线性变换及其分解7.2.2分式线性变换的映射性质7.2.3分式线性变换的应用,17,2020/5/30,(7.3),为分式线性变换.简记为w=L(z).,1.定义,7.2.1分式线性变换及其分解,称变换,注:,条件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,则,约定：w=L(z)的定义域为C：,(7.4),结论,w=L(z)将CC,w=L(z)的逆变换为,w=L(z)在扩充z平面上是保域的,18,2020/5/30,2.分式线性变换w=L(z)的分解,结论：分式线性变换w=L(z)可以分解为如下简单变换的复合,整线性变换,旋转变换,伸缩变换,平移变换,反演变换,关于单位圆周的对称变换,关于实轴的对称变换,19,2020/5/30,O,(z)(w),z,w,b,i)w=z+b.这是一个平移映射.因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量b的方向平移一段距离|b|后,就得到w.,O,(z)=(w),z,w,a,ii)w=az,a0.这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.设将z先转一个角度a,再将|z|伸长(或缩短)倍后,就得到w.,20,2020/5/30,z,w1,w,1,O,圆周的对称点,P与P关于圆周C互为对称点,21,2020/5/30,7.2.2分式线性变换的映射性质,1.保角性（或共形性）,而i)与ii)是平移,旋转和伸缩变换,显然是共形的,所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上是共形的。,定理一分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的,且具有保角性.,而分式线性变换是上述三种映射复合而构成的,因此有,22,2020/5/30,映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性,（这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性。映射w=az+b显然具有保圆性,下面说明w=1/z具有保圆性.,2.保圆性,因此,映射w=1/z将方程,变为方程,当a0,d0：圆周映射为圆周;当a0,d=0：圆周映射成直线;当a=0,d0：直线映射成圆周；当a=0,d=0：直线映射成直线.,这就是说,映射w=1/z把圆周映射成圆周.或者说,映射w=1/z具有保圆性.,23,2020/5/30,定理二分式线性变换将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.,根据保圆性,在分式线性变换下,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线.,24,2020/5/30,定义7.5关于圆周对称是指都在过圆心a的同一条射线上,且满足此外,还规定圆心a与点关于为对称的。,3.保对称点性,定理7.11扩充z平面上两点关于圆周对称的充要条件是,通过的任意圆周都与正交.,定理7.12设扩充z平面上两点关于圆周对称,w=L(z)为一线性变换,则两点关于圆周对称.,证设是扩充w平面上经过的任意圆周.此时,必然存在一个圆周,它经过,并使,因为关于对称,故由定理7.11,与亦正交.这样,再由定理7.11即知关于对称.,25,2020/5/30,26,2020/5/30,当四点中有一点为时,应将包含此点的项用1代替.例如z1=时,即有亦即先视z1为有限,再令取极限而得.,定义7.4扩充平面上顺序的四个相异点z1,z2,z3,z4构成下面的量,称为它们的交比,记为(z1,z2,z3,z4):,4.保交比性,27,2020/5/30,定理7.8在线性变换下,四点的交比不变.,证设,则,因此,定理7.9设线性变换将扩充z平面上三个相异点z1,z2,z3指定为w1,w2,w3,则此分式线性变换换就被唯一确定,并且可以写成(7.10)(即三对对应点唯一确定一个线性变换).,28,2020/5/30,例1求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w|0映射成单位圆|w|1且满足的分式线性变换.,34,2020/5/30,35,2020/5/30,x,1,y,(z),O,O,u,v,(w),1,a,例4求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性变换.,36,2020/5/30,解设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0.这时与,37,2020/5/30,所以|k|=1,即k=eij.这里j是任意实数.,由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,所以当|z|=1,|w|=1.将圆周|z|=1上的点z=1代入上式,得,因此,将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是,38,2020/5/30,反之,形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq(q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:,同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0的分式线性变换.,解由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2映射成|w|1的中心.所以由(6.3.5)得,40,2020/5/30,解容易看出,映射z=(w-2i)/2将|w-2i|0映射成|z|0映射成|w-2i|2且满足条件的分式线性变换.,41,2020/5/30,42,2020/5/30,第三节某些初等函数所构成的共形映射,7.3.1幂函数与根式函数7.3.2指数函数与对数函数7.3.3由圆弧构成的两角形区域的共形映射,43,2020/5/30,(7.15),其中为大于1的自然数。除了及外，它处处具有不为零的导数，因而在这些点是保角的。,7.3.1幂函数与根式函数,幂函数,因为(7.15)的单叶性区域是顶点在原点张度不超过的角形区域。于是幂函数(7.15)将角形区域共形映射成角形区域.,特别地，将角形区域共形映射成w平面上除去原点及正实轴的区域。,44,2020/5/30,45,2020/5/30,7.3.1幂函数与根式函数,(7.16),作为的逆变换,将w平面上的角形区域共形映射成z平面上的角形区域.,于是和的映射特点是扩大与缩小角形域。,例1求把角形域0argzp/4映射成单位圆|w|1的一个映射.,解z=z4将所给角形域00.又从上节的例2知,映射,将上半平面映射成单位圆|w|1,因此所求映射为,46,2020/5/30,47,2020/5/30,例2求一个将映射为单位圆|w|1的映射。,解,48,2020/5/30,例3求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0argwj0+a的一个映射.,a,O,(z),1,49,2020/5/30,解令C1,C2的交点z=i与z=-i分别映射成z平面中的z=0与z=,将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:,其中k为待定的复常数。,50,2020/5/30,在任意有限点均有，因而它在z平面上是保角的。,7.3.2指数函数与对数函数,指数函数,(7.17),因为（7.17）的单叶性区域是平行于实轴宽不超过的带形区域。于是指数函数（7.17）将带形区域共形映射成角形区域.,特别地，将带形区域共形映射成w平面上除去原点及正实轴的区域。,作为的逆变换,将w平面上的角形区域共形映射成z平面上的带形区域.,51,2020/5/30,ai,O,x,y,(z),argw=a,u,O,v,(w),2pi,O,x,y,(z),O,u,v,(w),w=ez,z=lnw,52,2020/5/30,由指数函数w=ez所构成的映射的特点是:把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0argwa.,例4求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|1的一个映射.,53,2020/5/30,例5求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆。,54,2020/5/30,例6求把带形域a0的一个映射.,55,2020/5/30,例7求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.,56,2020/5/30,O,u,v,(w),a-h,a,a+h,B,C,D,O,(z1),C,B,D,ih,-h2,C,O,B,D,(z2),C,O,Bh2,D,(z3),O,(z4),C,B,D,-h,+h,z1=z-a,z2=z12,z3=z2+h2,w=z4+a,57,2020/5/30,解不难看出,解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平.由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先,把上半z平面向左平移一个距离a:z1=z-a.第二,由映射z2=z12,得到具有割痕-h2Re(z2)+,Im(z2)=0的z2平面.第三,把z2平面向右作一距离为h2的平移:z3=z2+h2,便得到去掉了正实轴的z3平面.,58,2020/5/30,由于分式线性变换的保圆性，它把已给两角形区域共形映射成同样形状的区域、或弓形区域、或角形区域。只要已给圆周（或直线）上有一个点变为w=，则此圆周（或直线）就变成直线。如果它上面没有点变成w=，则它就变为有限半径的圆周。所以，若二圆弧的一个公共点变为w=，则此二圆弧所围成的两角形区域就共形映射成角形区域。,借助于分式线性函数，以及幂函数或指数函数的复合，可以将二圆弧或直线段所构成的两角形区域，共形映射成一个标准区域，比如上半平面。,7.3.3由圆弧构成的两角形区域的共形映射,59,2020/5/30,O,解所设的两个圆弧的交点为-i与i,且相互正交.交点-i映射成无穷远点,i映射成原点.因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,张角等于.,60,2020/5/30,此点在第三象限的分角线C1上.由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.,x,1,-i,i,-1,C1,C2,y,(z),O,C2,C1,O,u,v,(w),映射的角形区如图所示,61,2020/5/30,第四节关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理,7.4.1黎曼存在定理7.4.2边界对应定理,62,2020/5/30,7.4.1黎曼存在定理,注(1)唯一性条件(7.19)的几何意义是:指定aD变成单位圆的圆心,而在点a的旋转角.它依赖于三个实参数.,定理7.13(黎曼存在与唯一性定理)扩充z平面上的单连通区域D,其边界点不止一点,则有一个在D内的单叶解析函数w=f(z),它将D保形变换成单位圆|w|1;且当满足条件时,这种函数f(z)就只有一个.,(2)在将单连通区域D变