山东大学数学分析3

第3章函数的连续性,3.1连续性概念3.2,连续函数的性质,3.3初等函数的连续性,3.1连续性概念,一、函数在一点的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,特点:,极限计算转化为函数值计算,函数值表示转化为极限表示,在x0有定义,1.在x0附近定义;2.极限存在,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,例4证明,证,只须证明,二、函数的间断点,间断=不连续,1.在x0及其附近定义;2.极限存在,1.跳跃间断点,例5,解,2.可去间断点,例6,解,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例7,解,间断的演示,间断的演示,间断的演示,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到：这种间断点称为跳跃间断点.,G,间断的演示,哎，小红点，你跑哪去了？,快救救我，我要跑到未知世界去了！,这种间断点称为无穷间断点,G,间断的演示,：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？,：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！,这种间断点称为震荡间断点。,G,例8,解,注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,其余各点处处间断.,在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例9,解,例10讨论,若有间断点判别其类型，并作出图形,解,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,2.区间上的连续函数;,3.间断点的分类与判别;,间断点,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,(见下图),第一类间断点,可去型,跳跃型,第二类间断点,无穷型,振荡型,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,3.2连续函数的一般性质,一连续函数的局部性质,二复合函数的连续性,三反函数的连续性,函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。,四初等函数的连续性,一连续函数的局部性质,Th4.2（局部有界性）若,在,连续。则,在某,有界.,Th4.3（局部保号性）若,在,连续，且,则对任何正数,，存在某,有,.,注在具体应用局部保号性时，若,可取,，,与极限相应的性质做比较,这里只是把“极限存在”，改为,改为,其余一致。,“连续”，把,证明连续函数的局部有界性若,处连续，则,和,，使得,证据,在,连续的定义，,满足,现取,相应存在,，就有,证毕,四则运算的连续性,Th4.4,例如,连续是用极限定义的，本定理是极限四则运算定理的直接结果，不证自明。,Th4.5,证,二复合函数的连续性,将上两步合起来:,意义,1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续,例1,解,例2,解,同理可得,注意定理是定理4.5的特殊情况.,例如,三反函数的连续性,定理4.8严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,Th4.8若函数,上严格递增(或减)且,在相应的定义域,（或,上连续.,连续,则其反函数,证明不妨设,上严格递增.,此时,的,值域即反函数,任取,0，,异于,使它们与,的距离,设与,对应的函数值分别为,由,的严格增,性知,令,则当,时，对应的,的值都落在与,之间，故有,这就证明了在点连续，从而在,内连续.,类似地可证在其定义区间的端点与分,别为右连续与左连续.所以在上连续.,四初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),Th4.12基本初等函数在定义域内是连续的.,Th4.13一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,注意,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,例3求,解,它的一个定义区间是,例4,解,例5求,解,不能应用差的极限运算法则，须变形先分子有理化，然后再求极限,五、小结,连续函数的局部性质,反函数的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,思考题,思考题解答,是它的可去间断点,3.3闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,一般而言，,在其定义域上不一定,在上有界.,无最大（小）值；,在，上也无最大（小）值。,有最大（小）值，即使,例如：,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,证,由零点定理,几何解释:,例1,证,由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.,例2,证,由零点定理,例3,证,由零点定理知,总之,注,方程f(x)=0的根,函数f(x)的零点,有关闭区间上连续函数命题的证明方法,10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理,辅助函数的作法,（1）将结论中的(或x0或c)改写成x,（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求,区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。,四函数的整体连续性一致连续：,设,在某一区间连续，按照定义，也就是,在区间内每一点都连续。即对,时，就有,在一致连续定义中,与,无关，是在区