常微分方程-第二章VIP

第二章初等积分法,2.1恰当方程,定义1,则称微分方程,是恰当方程.,如,是恰当方程.,1恰当方程的定义,需考虑的问题,(1)方程(1)是否为恰当方程?,(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?,(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?,2方程为恰当方程的充要条件,定理1,为恰当方程的充要条件是,证明,“必要性”,设(1)是恰当方程,故有,从而,故,“充分性”,即应满足,因此,事实上,故,(8),注:若(1)为恰当方程,则其通解为,二、恰当方程的求解,1不定积分法,解:,故所给方程是恰当方程.,即,积分后得:,故,从而方程的通解为,2分组凑微法,采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.,-应熟记一些简单二元函数的全微分.,如,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,或写成,故通解为:,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,或写成,故通解为:,故所求的初值问题的解为:,3线积分法,定理1充分性的证明也可用如下方法:,由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:,从而(1)的通解为,例4求解方程,解:,故所给方程是恰当方程.,故通解为:,2.2变量分离方程,一、可分离变量的微分方程,可用分离变量法解的一阶方程的一般形式,(1),一阶微分方程的形式：,分离变量：,两边同时关于x求不定积分：,写出通解：(结果含有一个任意常数),是方程的解，不可遗漏，见以下分析。,需要注意的零点有可能,解,解方程,即,是原方程的通解。,分离变量,例1,例2求微分方程的通解.,解分离变量,两边积分得,又可写为,故方程的通解为:,取指数,例3,求解定解问题：,解先求通解,两边同时积分得,或,分离变量,进一步,进一步化简得通解,或,则,记,再求特解，为此在通解中令,于是所求定解问题的特解为:,例4求解,解先求通解，,分离变量,两边同时积分,而得到对应初始条件的特解：,由条件,即,例8求,例5求微分方程,的通解.,例6求满足方程,且过点（1，2）的积分曲线.,例7求微分方程,的通解.,的通解.,例9求,对任何正数x,y都成立，又f(1)=3,求f(x).,例12设函数f(x)在正实轴上连续，且等式,求u(x,y),使得,例11若f(x)二阶连续可微，,例10求,的特解.,满足y(1)=0,2.3一阶线性微分方程,1.标准一阶线性方程,一般形式,用分离变量法，求齐次方程(2)的通解；,用常数变易法法，求非齐次方程(1)的,的一个特解,(其实同时能得出(1)的通解).,比较,常数变易法,以上说明，为求得(1),的一个解，只要把齐次方程(2)通解中的常数C变为C(x),再将其代回原非齐次方程(1),若C(x)可定出,问题就解决了.,齐次方程(2)的通解,非齐次方程(1)的对应C=0的特解,最后写出非齐次方程(1)的通解为,或,例1解方程,解,记,并允许C取零而包含特解,解先求对应齐次方程的通解。,例2求初值问题,再根据初条件求特解,将代入通解,得原方程的通解为：,例3求解方程,解此方程的正规形式是：,它是非线性的，又不能分离变量，现将方程改写为：,于是得原方程特解：,这已是以x为未知函数的、标准的一阶线性非齐次方程,先求得齐次通解，,进而化成,原方程的通解,2.4初等变换法,一、齐次方程二、伯努力方程三、里卡蒂方程,一:齐次方程,形如,称为齐次方程,通解,代入x=1,y=2，得C=-1,于是积分曲线是,两边积分得,解设u=xy,则du=ydx+xdy,于是,且过点（1，2）的积分曲线.,例求满足方程,例求微分方程,积分得,即原方程化为,解设,的通解.,例求,积分得,解原方程化为,的通解,例求,解原方程化为,满足y(1)=0的特解.,可化为齐次方程,即,这已经是可分离变量的方程了。,则,例7,解先解,(*),于是方程(*)进一步转化为,分离变量:,两边同时积分得:,二.Bernoulli方程,一般形式,先化成标准一阶线性方程,(*),由(*)得：,解上述一阶线性方程，设其通解为,例1解方程,解,将方程改写为,因此，原方程的通解为：,2.5积分因子法,积分因子,非恰当方程如何求解?,对变量分离方程:,不是恰当方程.,是恰当方程.,对一阶线性方程:,不是恰当方程.,则,是恰当方程.,可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.,定义,例1,解:,对方程有,由于,把以上方程重新“分项组合”得,即,也即,故所给方程的通解为:,2积分因子的确定,即,尽管如此,方程,还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.,变成,即,此时求得积分因子,3定理,微分方程,解:,由于,故它不是恰当方程,又由于,利用恰当方程求解法得通解为,积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.下面通过例子说明一些简单积分因子的求法.,例3求解方程,解:,方程改写为:,或:,易看出,此方程有积分因子,即,故方程的通解为:,例4求解方程,解:,故方程不是恰当方程,方法1:,即,故方程的通解为:,方法2:,方程改写为:,容易看出方程左侧有积分因子:,故方程的通解为:,方法3:,方程改写为:,这是齐次方程,即,故通解为:,变量还原得原方程的通解为:,方法4:,方程改写为:,故方程的通解为:,即方程的通解为:,例求,解设,的通解.,例若f(x)二阶连续可微，,解这里,求u(x,y),使得,例设函数f(x)在正实轴上连续，且等式,解固定x,对y求导，,对任何正数x,y都成立，又f(1)=3,求f(x).,两边再对x求导,整理得,令,例求微分方程,解将方程改写为,的通解.,例求方程,x却是线性的，把方程化为,解该方程关于y为未知数是非线性的，但是关于,的满足条件y(0)=1的特解.,例求方程,解这是n=6的伯努利方程，代入公式得,的通解.,例求,解把方程改写成,的特解,即,这是关于n=-3的伯努利方程,例若y=ex是方程,这是一个一元线性非齐次方程，于是,于是有,程有,解首先，求出未知函数p(x),把y=ex代入原方,求满足y(ln2)=0的特解.,的一个解，,例若,解设ux=t,则,当u=0,t=0;当u=1,t=x.,例10设f(x)在0，+）上连续，且,解方程,的解为,证明方程,例11若曲线过点N(1,1),曲线上任意一点P(x,y)处的切线与Oy轴交于Q,经PQ为直径做的圆过A(1,0)，求此曲线方程.,解过点P(x,y)的切线方程为,由于MQ=MA,则,线段PQ的中点M,令x=0,则点Q(0,yxy),整理得,这是n=-1的伯努力方程，解之得,考虑到y(1)=1,则C=0，于是所求曲线为,例12解方程,解,例13解方程,解设,积分得,再积分得原方程的通解为,则原方程可化为,例14解方程,解由于,设,则,其特征根是1，-1，所以,例15求方程,解,代入原方程得,解这个微分方程，得其通解为,的通解.,例16求微分方程,适合条件,的特解.,解设,则原方程化为,解之,由于,积分两次有,例17求方程,解设,原方程可化为,当p=0时，y=C是方程的解，当p0时，有,积分得,例18若一曲线上各点的曲率与该点纵坐标的平方成反比,比例系数为a,且曲线经过点(0,a),并在(0,a)处的切线平行于Ox轴,求曲线方程.,解依题意有,设,分离变量，解之得,由,由于y(0)=