常微分方程CH-4-2

1,4.2常系数线性方程的解法,2,n阶线性微分方程的一般形式,n阶齐线性方程是,(4.1),(4.2),机动目录上页下页返回结束,3,n阶常系数线性微分方程的一般形式,n阶常系数齐线性方程是,(1),(2),其中,皆为常数。,机动目录上页下页返回结束,4,1复值函数与复值解,(1)复值函数,复值函数的定义,复值函数的极限,复值函数连续、导数、高阶导数的定义及求导运算法则,机动目录上页下页返回结束,5,(2)复指数函数,定义,性质,机动目录上页下页返回结束,6,(3)复值解,定义在区间a,b上的实变量复值函数z=z(t)称为,的复值解，若,机动目录上页下页返回结束,7,也都是方程,定理8,都是实值函数，而,复值解，则,的实部,和虚部,复值函数,(4.2)的解。,是方程的,及共轭,如果方程(4.2)中所有系数,机动目录上页下页返回结束,8,有复值解,定理9,这里,及,分别是,和,的解。,和,都是实函数，则,若方程,机动目录上页下页返回结束,9,2常系数齐线性方程和Euler方程,(2),为一微分算子,有解,寻求(2)形如,的解。,问题：如何求(2)的基本解组？,机动目录上页下页返回结束,10,欧拉（Euler）待定指数函数法,注意到,其中,(3),由此可得，,是,为(2)的解的充要条件是：,的根。,特征方程,特征多项式,特征根,机动目录上页下页返回结束,11,（I）特征根是单根的情形,则(2)有解：,设方程(3)有n个互异的根,线性无关。,(4),机动目录上页下页返回结束,12,是,的解的充要条件是：,欧拉（Euler）待定指数函数法,为,的根。,（2）,（3）,机动目录上页下页返回结束,13,则(2)的通解为:,结论i若特征方程(3)有n个互异的实根,机动目录上页下页返回结束,14,Example1,求,特征方程为,Solution:,因为,所以特征根为,所以方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,15,相对应，,如果特征方程有复根,是一特征根，,则,也是特征根，,根据定理8，它们的实部和虚部也是方程的解。,可得方程(2)的两个实值解：,所以，对应于特征方程的一对共轭复根,，,设,因而与这对共轭复根,方程(2)有两个复值解,机动目录上页下页返回结束,16,因此,在(4)中，将,这样，当有共轭特征根时，,注意到,用,代替，,解的线性无关性保持.,换成,则可得方程n个实值解构成的基本解组。,只要逐对地将,机动目录上页下页返回结束,17,是任意常数。,解,，特征根为,所以方程的通解为,这里,特征方程为,机动目录上页下页返回结束,18,例2求解方程,因此方程通解为,解,有根,，,为任意常数。,其中,特征方程,机动目录上页下页返回结束,19,(II)特征根有重根的情形,，则有,而,(i)设,，即特征方程有因子,，,于是,设特征方程有k重根,而对应的方程(2)变为,易见它有k个解,且线性无关.,机动目录上页下页返回结束,20,由于,若,则作变量变换,所以,(5),于是,。,仍为常数,相应的特征方程为,其中,(ii),机动目录上页下页返回结束,即,21,特别地，,且重数相同。,问题：(2)的特征方程与(5)的特征方程的关系？,这样，方程(5)必有k个解,从而(2)必有k个解,机动目录上页下页返回结束,22,设(2)的特征方程有m个互不相同的实特征根,结论,则方程(2)的基本解组为：,其重数分别为,且,机动目录上页下页返回结束,23,事实上，假设这些函数线性相关，则有,(6),次，得,其中,是常数,不全为零。,至少有一个系数不等于零，,将(6)除以,然后对t微分,不失一般性,假定,即,其中,(7),机动目录上页下页返回结束,24,项数减少了,形式相同，,经过m-1次后，得,这是不可能的，,机动目录上页下页返回结束,25,方程(2)的通解为:,机动目录上页下页返回结束,26,对于特征方程的每一个k重复特征根,在基解组中对应占有2k项,为,根据代数基本定理,n次代数方程有且仅有n个根,因此特征方程(3)的特征根共有n个,(重根以重数记)。(2)的n个无关基解与特征根有以下对应关系:,机动目录上页下页返回结束,27,每个单实特征根,特征根(共n个),对应无关基解的形式及项数,（一项）,每个重实特征根,每对共轭复单根,每对重共轭复根,无关基解与特征根的对应关系,（项）,（两项）,（项）,（总共n项）,机动目录上页下页返回结束,28,解,为任意常数。,，即,，,所以,为三重根。,其中,特征方程为,因而方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,29,例4求解方程,是任意常数。,解,，即,，,所以特征根,是重根。,值解,所以通解为,其中,特征方程为,因此,方程有四个实,机动目录上页下页返回结束,30,补例1解方程,解先求特征方程的根，,所以通解为,机动目录上页下页返回结束,31,补例2求解,解先求特征方程的根，,对应,在基解组中占有三项：,对应,有两个无关解：,通解为,机动目录上页下页返回结束,32,(7),3欧拉方程,形为,的方程称为欧拉方程,为常数。,这里,则,引进自变量的变换,或,机动目录上页下页返回结束,33,由数学归纳法可证：对一切自然数k，,均有,都是常数。,其中,于是,(8),将上述关系代入方程(7)即得,常系数齐线性方程,注：将(8)的通解用t=ln|x|代回，即得(7)的通解。,机动目录上页下页返回结束,34,有解,有解,的代数方程,以,代入(7)并约去,，得确定,(9),可以证明这正是(8)的特征方程。,因此，,机动目录上页下页返回结束,35,，对应于方程(8),(9)的,重实根,的,个解,方程,机动目录上页下页返回结束,从而方程(7)有m个解,36,个实值解,而方程(9)的,重复根,，对应于方程,(7)的,，,，,，,，,，,，,机动目录上页下页返回结束,37,每个单实特征根,特征根(共n个),对应无关基解的形式及项数,（一项）,每个重实特征根,每对共轭复单根,每对重共轭复根,无关基解与特征根的对应关系,（项）,（两项）,（项）,（总共n项）,机动目录上页下页返回结束,38,从而原方程有m个解，,t=ln|x|代回,39,个实值解,而方程的,重复根,，对应于原方程,的,，,，,，,，,，,，,机动目录上页下页返回结束,40,Example1求解方程,则,因而，方程的通解为,所以,机动目录上页下页返回结束,41,Example2求解方程,则,或,因而，方程的通解为,所以,机动目录上页下页返回结束,42,每个单实特征根,特征根(共n个),对应无关基解的形式及项数,（一项）,每个重实特征根,每对共轭复单根,每对重共轭复根,无关基解与特征根的对应关系,（项）,（两项）,（项）,（总共n项）,机动目录上页下页返回结束,43,从而原方程有m个解，,t=ln|x|代回,44,个实值解,而方程的,重复根,，对应于原方程,的,，,，,，,，,，,，,机动目录上页下页返回结束,45,4非齐线性方程比较系数法,常系数非齐线性方程的一般形式,(1),为连续函数。,这里,为常数，而,根据线性方程的一般理论知，为求(1)的通解，只需求出其齐线性方程的一个基本解组及(1)的一个特解。,机动目录上页下页返回结束,46,（一）比较系数法,类型I,的特解，,其中,及,（,）为实常数，,(1)有形如,为特征方程,则方程,其中,的重数（单根相当于,的根,不是特征根时，,；当,是待定常数，可以,取,），而,通过比较系数来确定。,机动目录上页下页返回结束,47,，此时,1）如果,下面再分两种情形讨论。,（i）在,不是特征根的情形，,，,因而,，这时，取,，以,代入方程(1)，,并比较t的同次幂的系数，得,必须满足的方程：,即,机动目录上页下页返回结束,48,(3),可以从方程组(3)唯一地逐个确定出来。,注意到,，这些待定常数,机动目录上页下页返回结束,49,(4),（ii）,是k重特征根,方程(1)为,令,则方程(4)化为,(5),不是(5)对应的特征根。,的特解，,因此，(5)有形如,因而(4)有满足,的特解,机动目录上页下页返回结束,50,于是方程(4)(或方程(1)有形如,的特解。,机动目录上页下页返回结束,51,2）,作变量变换,则方程(1)化为,且特征方程,的根,对应于方程(6)的特征方程的零根，,且重数,也相同。,因此，(6)有特解,从而(1)有特解,不是特征根时，取k=0)。,机动目录上页下页返回结束,52,结论I,有形如,的特解，,其中k为,的重数。,机动目录上页下页返回结束,53,的通解。,例3,解,的通解。,因此，通解为,再求非齐线性方程的一个特解。,这里,求方程,先求对应的齐线性方程,特征方程为,因为,不是特征根，,的特解。,将其代入原方程，得,所以方程有形如,机动目录上页下页返回结束,54,所以,因此,原方程的通解为,其中,为任意常数。,因此,所以,机动目录上页下页返回结束,55,的通解。,例4求方程,解,因为,所以，原,将它代入原方程得,，从而,于是,所以原方程的通解为,其中,为任意常数。,是特征方程的单根，,方程有形如,的特解，,从例3知道对应的齐线性方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,56,例5求方程,的通解。,为任意常数。,解,得,所以原方程有形状,的特解，,将它代入原方程得,因此,，,从而,所以原方程的通解为,其中,令,机动目录上页下页返回结束,57,类型I,有形如,的特解，,其中k为,的重数。,机动目录上页下页返回结束,58,(7),类型II,其中,为常数，,是实系数的多项式，,则方程(1)有形如,的特解，,的根,的重数，,而,次数不高于m实系数多项式.,这里k为特征方程,均为待定的,机动目录上页下页返回结束,59,又,若x为,的解，,则,为,的解。,机动目录上页下页返回结束,60,所以方程(1)有解形如,显然,是次数不高于m实系数的多项式.,机动目录上页下页返回结束,61,结论II,有形如,的特解，,其中k为,的重数，,机动目录上页下页返回结束,62,解,有重根,，,因此对应的齐线性方程的通解为,，,因为,不是特征根