复变函数论第1章VIP

1,复变函数,2,复变函数,复变函数论由瑞典数学家欧拉（Euler）创立，经过柯西（Cauchy法国）、黎曼（Riemann德国）和维尔斯特拉斯等的完善，到目前已经形成了非常系统完善的理论。复变函数理论中最重要的内容是解析函数。解析函数不仅对数学自身的发展起了重大作用，而且在理论物理、空气动力学、流体力学、天体物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应用，所以复变函数理论成为研究它们不可缺少的一门数学工具。复积分复级数共形映射,后续课程：积分变换、数理方程,3,第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的幂级数表示法第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第六章留数理论及其应用,复变函数,4,复数和复变函数,第一章,5,1复数,1.复数的概念,复数：形如或的数,a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,i称为虚单位,即满足i2=1或者,全体复数的集合称为复数集,用C表示.,实数集R是复数集C的真子集.,实部：a=Rez虚部：b=Imz虚数：aib=ib(b0）纯虚数：0ib=ib（b0）复数相等：实部与虚部分别相等（a+ib=3+4ia=3,b=4）共轭复数：z=a+ib与,6,2.复数的运算,加法,减法,乘法,除法,7,3.复数的表示代数表示：z=a+ib,点表示：z(a,b),实轴上的点表示实数；虚轴上的点表示纯虚数(除了原点外),向量表示：(由原点引向点z的向量)向量表示方式建立了复数集C与平面向量所成的集合的一一对应,复平面：用直角坐标系表示复数的平面实轴：x轴虚轴：y轴,复数z的模：向量的长度，记为|z|或r.,8,复数的加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.,加法,减法,z1与z2的距离：,d(z1,z2)=|z1-z2|,9,极坐标：(r,)a=rcos,b=rsin,r=|z|,复数z的辐角：正实轴与从原点O到z的射线的夹角，记为,主辐角（或辐角主值）：满足的辐角，记为=argz，于是有Argz=argz+2k,k=0,1,2,注,三角表示,z=r(cos+isin),指数形式z=rei,欧拉公式ei=cos+isin,10,注意：1)原点0的模为0，辐角无定义.2),11,极坐标：(r,）a=rcos,b=rsin,r=|z|,复数z的辐角：正实轴与从原点O到z的射线的夹角，记为,主辐角（或辐角主值）：满足的辐角，记为=argz，于是有Argz=argz+2k,k=0,1,2,三角表示,z=r(cos+isin),指数形式z=rei,欧拉公式ei=cos+isin,12,例1.1求Arg(-3-i4).,解：Arg(-3-i4)=arg(-3-i4)+2k,k=0,1,2,.,点-3-i4位于第三象限,k=0,1,2,.,例1.2计算z=ei,解：ei=cos+isin=-1.,13,例1.3把复数表示成三角形式和指数形式.,解：,对应的点在第一象限,三角形式为,指数形式为,14,例1.4写出下列复数的三角形式及指数形式(1)1，(2)1+i，(3)2，(4)i.,解:(1)因为|1|=1，arg(1)=0，所以1=1(cos0+isin0)=ei0.,(2)因为|1+i|=，arg(1+i)=/4，所以1+i=,(3)因为|-2|=2，arg(-2)=，所以2=2(cos+isin)=ei.,(4)因为|i|=1，arg(i)=/2，所以i=,15,复数的模和共轭复数的性质,16,例1.10试证：,证,17,复数乘法的几何意义,复数相乘：模相乘，辐角相加.,18,复数相除：模相除，辐角相减.,19,复数z的乘方zn,棣莫拂(deMoivre)公式,20,k=0,1,2,n-1,k=0,1,2,n-1,复数的开方(z的n次方根),满足方程n=z的所有的复数，记为.,设,记,21,k=0,1,2,n-1,n次方根,22,例1.5计算下列各值,例1.6用sin及cos表示cos3,sin3.解:由棣莫弗公式得，,因此,由复数相等的关系有,23,例1.7求1-i的立方根.,解：,1-i的立方根是,例1.8计算n次单位根.,解：,立方单位根是,n次单位根是,24,2复平面上的点集,1.平面点集的几个基本概念,z0的邻域：D(z0,)=z:|z-z0|z0的去心邻域：D(z0,)z0=z:0|z-z0|,z0为点集E的内点：存在z0的邻域D(z0,)EE为开集：如果点集E中的点全为内点.,25,26,1.2复平面点集,1.平面点集的几个概念,z0为点集E的内点：存在z0的邻域E为开集：如果点集E中的点全为内点.,z0为E的边界点：z0的任意邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E中的点；E的边界：集合E所有边界点，记作E.,z0的邻域：D(z0,)=z:|z-z0|z0的去心邻域：D(z0,)z0=z:00是一个单连通区域；,(同心)圆环：R10(0r),只要0|z-z0|(且zE),就有|f(z)-w0|0，取=，当|z|时，总有|f(z)-0|0，当0|z-z0|时，有|f(z)-|0，当0|z-z0|0，,所以，f(z)在点z0的去心邻域N(z0)内恒不为零。,特别地，取=|f(z0)|/20，,所以|f(z)|f(z0)|-，,54,设f(z)在有界闭区域上连续，则下列性质成立：f(z)在上有界，即存在M0，使得|f(z)|0,0,使得任意z1,z2当|z1z2|时，均有|f