复变函数第1讲 1

1,复变函数与积分变换,中国石油大学理学院,2,序言,函数论是数学研究中的一个十分重要的领域。其中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）；另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数）这门课就是介绍一下复变函数论。,3,先从二次方程谈起,解方程；其中,公式：,此公式早于公元前四百年，已被巴比伦人发现和使用。,在中国的古籍九章算术中，亦有提及与二次方程有关的问题。,复变函数的产生和发展简史：,4,由二次方程到三次方程,由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自然地，人类就开始寻找三次方程的解法。,即寻找方程一般根式解。很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大的进展！,5,怪杰,卡丹诺(GirolamoCardano;15011576),一个多才多艺的学者一个放荡不羁的无赖他精通数学、医学、语言学、天文学、占星学一生充满传奇，人们称他为怪杰。,6,怪杰,1545年，卡丹诺在他的著作大术（ArsMagna）中，介绍了解三次方程的方法。,从此，解三次方程的方法，就被称为卡丹诺公式。,7,卡丹诺公式,解方程,公式：,例一解x3+6x=20,注意：m=6、n=20,x=,=2,8,卡丹诺公式,解方程,公式：,例二解x3=15x+4,注意：m=15、n=4,x=,（无解）,但非常明显，x=4是方程的一个解！,为什么？,9,另辟蹊径,韦达（FranoisVite;15401603）,法国人，律师兼业余数学家。在三角学、代数学、方程理论及几何学都有杰出贡献。1591年，利用恒等式cos3A=4cos3A3cosA，解三次方程。,10,虚数,笛卡尔（RenDecartes;15961650）,法国著名的哲学家坐标几何的创始人1637年，他称一个负数的开方为虚数(imaginarynumber)。但他不承认虚数是数字的一种。,11,一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算时就有一些矛盾的结果产生。例如：在莱布尼兹和贝努里的工作中就有因为轻易引进复对数而产生的悖论：,值得一提的是,12,这样取X=1，得,矛盾！,13,一大突破,棣美弗（AbrahamdeMoivre;16671754）,法国数学家，早期概率理论著作者之一最著名的成就，是发现棣美弗定理，把三角函数引入复数运算之中。,14,复变函数的引入,欧拉（LeonhardEuler,1707-1783）,瑞士数学家。13岁入大学，17岁取得硕士学位，30岁右眼失明，60岁完全失明。著作非常多，深入每个数学分支，对后世影响深远。,15,复变函数的引入,1748年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，並写出以下公式：,1777年，在他的著作微分公式中，首次使用i來表示虚数。他创立了复变函数论，并把它们应用到水力学、地图制图学上。,16,几何解释,1797年，挪威数学家维塞尔（CasparWessel;17451818）提出复数的几何解释。,1806年，法国数学家阿根（JeanRobertArgand;17681822）亦提出类似的解释。自此，人们亦称复数平面为阿根圆。,17,代数基本定理,高斯（CarlFriedrichGauss;1777-1855）,德国数学家，人称数学王子。18岁时，运用一些复数运算原理，以尺規画出正十七边形。20岁取得博士学位，並成功地证明了代数基本定理。确定复数的名称。,18,拉普拉斯，欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱。,1777年3月，欧拉向彼得堡科学院提交了一篇论文，论文中考虑了复变函数的积分,比欧拉更早，达朗贝尔在1752年关于流体力学论文中已经得到这两个方程，有的教科书成这两个方程为达朗贝尔欧拉方程。,19,十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家Cauchy、德国数学家Rieman和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支。例如，著名的代数学基本定理：,（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。,用复变函数理论来证明是非常简洁的。,一元n次方程,柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论的奠基者。,20,我国数学家杨乐、张广厚在单复变函数的值分布理论和渐进值理论的研究中取得了具有世界水平的成果，他们的研究进一步充实了复变函数论的理论。,近几十年来，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达马都做了大量的研究工作，开拓了复变函数更广阔的领域。,21,现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。,复变函数不仅在其他学科得到广泛应用，而且在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对他们的发展有很大的影响。,复变函数的应用,22,第一章复数与复变函数,主要内容,1、复数及其表示方法,2、复数运算,3、平面点集,4、复变函数的连续性,23,注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.,1.1复数及其四则运算,1、复数的概念,其中,实部,虚部,共轭,24,加、减：,乘法：,注:,2、复数的四则运算,除法：,25,容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.,另外，还经常用到以下性质：,提示：,(4),例如：设,26,有序实数对(x,y),平面上一点P,实轴、虚轴、复平面,Z平面、w平面,1.复平面,1.2复数的几种常见表示法,复数,代数表示,27,2.复数的向量表示,模：,辐角：,几何表示,28,显然,为整数.,29,复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式：,还容易看出,30,3、复数的三角表示,根据,上式称为复数的三角表示.,可以得到,4、复数的指数表示,由欧拉公式,可以得到复数的指数表示式:,31,(1)南极、北极的定义,x,y,O,N,S,z,5、复数的球面表示,32,x,x,O,N,S,z,P(z),z,球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,(2)复球面的定义,用来表示复数的这个球面称为复球面.,全体复数与复球面-N成一一对应关系.,33,因而球面上的北极N就是复数的几何表示.,x,x,O,N,S,z,P(z),z,(3)扩充复平面的定义,我们规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应,这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.,复平面加上后称为扩充复平面，记作C,34,注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面。,关于的运算，规定如下：,仍然不确定。,35,例1.下列方程各表示什么曲线？,4）写出直线的复数形式方程.,1）,2）,解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义，,所以：1）表示圆周，2）表示直线.,3）,注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用.,36,3）化为实方程，为此代入,，得,化简，得,，表示一条直线.,4）由,得,代入直线方程,因而直线的方程为,，其中为实数.,37,38,39,本讲小结：,1、复数的各种表示法,2、复数的四则运算、共轭运算,作业：P151（2,3,4）；2（2,4,5）；4.,40,1.3复数的乘幂与方根运算,1、乘积与商,因此,注意多值性,41,判断下列说法是否正确？,几何解释,(T),(F),42,除法运算,或者,集合等