复变函数课件1-1 1

1,课程名称,复变函数,教材,复变函数论,总学时,51学时,教师姓名,_王作雷_,课程简介,2,对象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。,复数与复变函数、解析函数、,3,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。,4,背景,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,5,复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,6,第一章复数与复变函数,第二章解析函数,第三章复变函数的积分,第四章解析函数的幂级数表示法,第五章解析函数的罗朗展示与孤立奇点,第六章留数理论及其应用（有时间就介绍）,第七章共形映射（不学习）,复变函数,7,第一章复数与复变函数,第一节复数,第二节复平面上的点集,第三节复变函数,第四节复球面与无穷远点,复变函数论多媒体教学课件,8,1复数域2复平面3复数的模与辐角4复数的乘幂与方根5共轭复数6复数在几何上的应用举例,第一节复数,9,1、复数域,1.1虚单位:,对虚数单位的规定:,10,虚数单位的特性:,11,1.2复数的代数形式:,i-虚单位满足：i2=-1,虚部记做：Imz=x,实部记做：Rez=x,12,例1,解,令,13,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,.,设：z1=x1+iy1z2=x2+iy2,复数不能比较大小!,14,1.3复数的代数运算,1.两复数的和:,2.两复数的积:,3.两复数的商:,注解：复数的减法运算是加法运算的逆运算,复数的除法运算是乘法运算的逆运算,复数的四则运算与实数的四则运算保持一致,15,定理:,全体复数关于上述运算做成一个数域.称为复数域，用C表示.,复数的四则运算满足以下运算律,加法结合律,乘法交换律,乘法结合律,乘法对加法的分配律,加法交换律,16,1.4复数的Hamilton(代数对）形式的定义,1835年，Hamilton给出如下定义：称一个有序数对z=(x,y)为一个复数。其中x,y为实数。要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地有（x,y)（y,x)。(x,y)=x+iy实部Rez=x虚部：Imz=y虚单位(0,1)=i数零0=(0,0)=0+0i,17,复数的四则运算:,18,2、复平面,复数的向量表示法,19,结论:,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,20,3.复数的模与辐角3.1模与辐角及辐角主值,向量的长度称为复数z的模，定义为：,21,注意：当z=0时辐角无异议。当z,22,3.2复数的三角形式,复数的三角表示定义为：,根据复数z的模与辐角的定义以及复数的向量表示可以推出非零复数的三角形式，即,23,3.3三角表示的乘法,利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法，设,其中后一个式子应理解为集合相等.,则有,其中,24,同理，对除法，也有：,其中后一个式子也应理解为集合相等.,其中,25,3.4复数的指数形式及运算,根据复数的模与幅角，我们用复数的三角形式来表示非零复数,即有,则,26,由指数性质即可推得复数的乘除有,因此,其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）,27,几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度,为主值时，则公式两端允许相差,的整数倍，即有,28,29,4、复数的乘幂与方根,利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：,4.1复数的乘幂,德摩弗公式,30,4.2复数的方根,进一步，有：,可以看到，k=0,1,2,n-1时，可得n个不同的值，即:z有n个n次方根;其模相同;辐角相差一个常数;均匀分布于一个圆上.这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形.,31,例2求及用与表示的式子,解：,32,所以有,有四个根.,例3求下式的所有值：,解：由于,33,5、共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例4、,解：,5.1共轭复数的定义,34,5.2共轭复数的性质,35,5.3基本不等式,关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：,36,例5、,解,37,例6、,解：,38,例7：,解：,39,例8、,解,40,例9、,证,41,例10、设、是两个复数，求证：,42,例11、设、是两个复数，证明：,43,44,解：,然而,例12若,试证,即,45,例13、求复数,所以,，,解：,46,6、曲线的复数方程,.,(2)、,虚轴的方程为,(3)、,(4)、,平面上实轴的方程为,(5)、,(6)、,47,例14、试用复数表示圆的方程：,解：利用,其中a,b,c,d是常数.,得：,其中，,48,例15、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点a,b,c的圆的表示式。,49,例15、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点a,b,c的圆的表示式。,a,c,b,z构成一个圆内接四边形或在同以侧,50,引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。,例16、用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆。,解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t+）,51,例17、方程表示什么图形？,解,52,53,附录：向Hamilton学习,Hamilton.WilliamRowan（威廉.罗万.哈密儿顿，18051865）爵士，无疑是使爱尔兰人在数学领域中享有盛益的最伟大的人物，同时也是有名望的物理学家和天文学家。他1805年生于都柏林，除了短时间外出访问外，一生都是在这里度过的。他才一岁时，被委托给一位叔叔教育，这位叔叔的热心在于给他侧重语言上的教育，不久之后，他就成了孤儿。Hamilton是个神童，3岁时能阅读英文，5岁时能阅读、,54,翻译拉丁、希腊和希伯莱文，8岁就会讲意大利语和法语，而且能用拉丁文描写美丽的爱尔兰江山，12岁就读完了用拉丁文写的Euclid的几何原理，据说他到十三岁时就掌握了十三种语言。在14岁时，有波斯大使到达他的家乡都柏林访问，他还用波斯文写了一篇欢应词。这使得他逐步喜爱上了古典文学,沉醉于诗的写作之中,他成为当时的伟大诗人WillamWordsworth的亲密朋友和相互赞赏者。然而遗憾的是却没有什么真正的成就。,55,直到十五岁，哈密尔顿的兴趣才转变，爱上了数学。这个变化是由于他认识美国的心算专家ZerahColburn(科尔伯恩)引起的。这位计算家虽然只是个小孩子，但是他在都柏林表演了他的快速计算能力。不久之后Hamilton偶然间见到Newton的通用算术的抄本，他贪婪地读它，然后又掌握了解析几何和微积分，并接着读了欧洲大陆的数学巨著。他读了Laplace的天体力学（MecaniqueCleste）后,指出了其中的一个数学错误；1823年，他写了一篇关于这件事的论文，受到相当的注意，第二年，他进了都柏林的三一学院。Hamilton的大学经历也是独一无二的。他在1827年，当他二十二岁还是一个大学生时，就无异,56,议地被任命为爱尔兰的皇家天文学家，邓辛克天文台台长，和大学的天文学教授。不久之后，仅从数学理论方面，预见到二轴晶体中圆锥形的折射，后来，有物理学家们戏剧般地从试验上加以肯定。在物理学中常见到的Hamilton的名字有Hamilton原理（最小作用量原理，1829），Hamilton数（哈数）和动力学的HamiltonJacobi微分方程等。从1833年起，他转而研究代数，并于,57,1835年写成了共轭函数或者代数对的理论,的有价值的论文，并把它呈交给爱尔兰科学院，,在这篇文章中，详细谈到了形如x+iy的复数把,它当做实数对来研究，这是Hamilton的伟大成就之一。,继他的这篇论文之后，Hamilton用许多年的时间,断断续续地考虑实数的有序三元组和有序四元组,的代数，但总是在如何定义乘法，使得能够,保持人们所熟悉的运算率上处于困境。,58,最后在1843年，一闪年间，他直觉地想到，要求的太多了，必须牺牲交换率。于是，第一个四元数的代数，第一个非交换代数，就这样突然诞生了。关于四元数，有一种说法：这是他在经过十年无效的苦思冥想之后，当他在黄昏前，和他的妻子一道，沿着都柏林附近的皇家运河散步时突然想到的，并把这种想法刻在了步老姆桥（BroughmBridge）的石柱上。在生命的最后二十年中，Hamilton花费了大量时间和精力推演其四元数，他认为这将在数学物理中引起巨大的变革，1853年发表了他的伟大巨著论四元数（TreatiseonQuaternious），在这之后，他准备写一本扩展了的四元数原理。,59,但不幸的是，1865年他在都柏林死于酒精中毒，据说这是由于不愉快的婚姻带给他的潦倒生活所致，使这项工作未能完成。1866年，其遗著四元数的理论基础出版。虽然，由于后来有了美国物理学家和数学家，耶鲁大学的吉步斯（JosiahWillardGibbs1839-1903）的更方便的向量分析，格拉斯曼（HermanGiintherGrassman）的更一般的有序n元组，是四元数的理论被淹没成为数学史上一件有趣的古董，但他在数学史上的重要性在于：,60,Hamilton1843的创造，把代数学从受束缚于实数算术的传统中解放出来，并且因而打开了现代抽象代数的闸们。Hamilton在其他数学领域也有许多贡献。如矩阵论中的HamiltonCayley定理、方程和多项式；图论中的Hamilton博弈问题等。一生共发表了140余篇论文。,61,Hamilton一生受到的荣益也是很高的，他是新成立的美国国家科学院选作的第一个外籍院士，1835年被封为爵士，1845年他还得到了一个罕有的荣誉那年，他参加了不列颠协会的第二次剑桥会议，被安排在三一学院的那间神圣的房子里住了一个星期Newton就是在那间房子里撰写其原理的，1943年爱尔兰政府为纪念四元数发表一百周年，特别发行了以他的头像为图案的邮票，并在都柏林的Broughm桥上立了一个石碑，上面写道:,62,这里在1843年10月16日，当WilliamRowanHamilton爵士走过时，天才的闪,光发现了四元数的乘法基本公式：i2=j2=k2=ijk=-1，他把这结果刻在这桥的石柱上.,向哈密尔顿学习,63,三、小结与思考,本课学习了复数的有关概念、性质及其运算.重点掌握复数的运算,它是本节课的重点.,64,思考题,复数为什么不能比较大小？,65,思考题答案,由此可见,在复数中无法定义大小关系.,放映结束，按Esc退出.,66,虚数符号的由来,许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484年，他在解方程4+x2=3x时得到的x值,如以现代的符号表示他的成果，即,由于,是负数，所以他认为不可能解这方程。,而第一个对负数开方运算进行研究并得到虚数及其运算方法的人是卡尔达诺，在1545年，在他所著的大术中，记载了以下的乘法运算：,67