复变函数论第一章-nk

1,2020/5/30,第一章复数与复变函数,1复数,2复平面上的点集,3复变函数,4复球面与无穷远点,2,2020/5/30,第一节复数,1.虚数单位:,对虚数单位的规定:,一、复数的概念,虚数单位的特性:,2.复数:,3,2020/5/30,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.,二、复数的代数运算,1.两复数的代数和:,2.两复数的积:,3.两复数的商:,4.共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,4,2020/5/30,6.共轭复数的性质:,例1,解,5.复数域:全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例.,5,2020/5/30,例2,证,例3,解设,6,2020/5/30,三、复平面,1.复数的模,显然下列各式成立,7,2020/5/30,2.复数的辐角,辐角不确定.,辐角主值的定义:,8,2020/5/30,3.利用平行四边形法求复数的和差,4.复数和差的模的性质,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,9,2020/5/30,5.复数的三角表示和指数表示,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,10,2020/5/30,例1,解,6.复数在几何上的应用举例,下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形。,11,2020/5/30,例1,求下列方程所表示的曲线:,解,化简后得,12,2020/5/30,1.乘积与商,定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,四、复数的乘幂与方根,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,注,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.,13,2020/5/30,z=x+iy=r(cos+isin)=rei,辐角：任意（-，）的实数，满足rcos=x,rsin=y.,辐角主值：任意（-，的实数，满足rcos=x,rsin=y.,14,2020/5/30,定理二,两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,2.幂与根,n次幂:,15,2020/5/30,棣莫佛公式,推导过程如下:,棣莫佛公式,根据棣莫佛公式,16,2020/5/30,当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.,从几何上看,17,2020/5/30,例1,解,即,18,2020/5/30,1.2.1复平面点集的几个基本概念,定义1.1邻域:,记作:或,N(z0)=z|z-z0|,记作：或N0(z0)=z|00:N(z0)E=,20,2020/5/30,定义1.3内点、开集、边界点、边界、闭集:,如果E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.,如果在z0的任意一个邻域内,都有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。,z0为E的内点0:N(z0)E,点集E的全体边界点组成的集合称为E的边界.记为:E,若点集E的每个聚点都属于E,则称E为闭集；任何集合E的闭包一定是闭集.,21,2020/5/30,定义1.4有界集和无界集:,z,x,y,有界！,o,例1圆盘,N(z0)=z|z-z0|0,0,z1,z2E,当|z1-z2|时,有|f(z1)-f(z2)|.,定理1.7设E是有界闭集，f(z)C(E),则有：,（1）f(z)在E上有界：,（2）|f(z)|在E上有最大（小）值，即：,（3）f(z)在E上一致连续，即,例3,证,56,2020/5/30,4.复变函数的极限性质,定理1(Bolzano-Weierstrass聚点定理)每一个有界无穷点集至少有一个聚点。,定理2(闭集套定理),定理3(Heine-Borel有限覆盖定理),57,2020/5/30,一、复球面,1.南极、北极的定义,第四节复球面与无穷远点,2.复球面的定义,球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,x,y,O,N,S,z,P(z),z,58,2020/5/30,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.,规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.,以上对应可以用公式表示为：,59,2020/5/30,3.扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,简称复平面.,复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.,4.无穷远点,关于无穷远点,规定其实部、虚部、辐角无意义,模等于:,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,60,2020/5/30,二.扩充复平面上的几个概念,1无穷远点的邻域