数学分析课件第七章多元函数微分学1-4

第七章多元函数微分学,1多元函数与中拓扑,1.多元函数,定义.设集合.如果对中每一点,按照一定的对应规则,都有唯一确定的实数与之对应,则称是一个定义在上的元函数,称为的定义域,与对应的数,称为在的值,记为,称为的值域,称为自变量,称为因变量.,例如:定义域为,定义.设是上元函数.若存在,使得则称是上有界函数.,2.中的集合定义.设是中两点定义到的距离为,距离满足下列性质(1)正定性且(2)对称性(3)三角不等式,定义.设,是给定的正数,称为的邻域.,定义.设.对,若存在,使得,则称是的内点.对,若存在,使得,则称是的外点.对,若,中总有中点,同时又总有不属于中点,则称是的边界点.,定义.设.若中每一点都是内点,则称是开集.,定义.设是上连续函数,称为中一条弧.一般表示为是起点,是终点.,定义.设.如果对中任意两点与都有一条弧,以为起点,以为终点,且,则称是弧连通的,简称连通.定义.中连通开集称为区域.定义.是一个区域.为的全体边界点组成的集合,称为闭区域.,注.区域是开区间概念的推广.注.的闭区域是.但的闭区域是.,不能说闭区域是闭区间概念的推广.,定义.设.若存在,使得则称是有界集合.,注.有界闭区域是闭区间概念的推广.,定义.设平面上一条曲线.如果满足(1)起点与终点相同,即(2)除端点外,曲线不自交,即,若,则则称是若当曲线.,注.若当曲线将平面分成两个区域,则一个是有界区域,一个无界区域,分别称作的内部和外部.,若当定理.每一条若当曲线都将整个平面分成两个区域,它们彼此不交,且均与该若当曲线为边界.,定义.若区域的边界是一条若当曲线,则称是若当区域.,定义.设是中点列.若存在,使得当时,或,则称收敛于,记为.称为的极限.否则称发散.,命题.记,.则的充要条件是:,注.若收敛,则极限唯一.极限的线性运算法则在中仍成立.,定义.设,.若的任意一个邻域都含有中无限个点,则称是的聚点.的聚点全体记作.称为的闭包.定义.若且,使得,则称是的孤立点.,注.聚点或.,命题1.0.是的聚点的充要条件是:存在中点列且,使得.,命题1.1.为闭集的充要条件是:是开集.,定义.设.若包含了它的所有聚点,则称是闭集.,命题1.2.任意一组开集的并集仍是开集.(2)任意一组闭集的交集仍是闭集.(3)有限个开集的交集仍是开集.(4)有限个闭集的并集仍是闭集.,3.向量值函数设.到的一个映射称为向量值函数,一般记作,2多元函数的极限,只讨论二元函数,1.二元函数的极限定义.设在的空心邻域有定义.如果存在常数,对于任给的,都存在,使得当时,则称当趋于时,以为极限.记作或或,注.用点坐标表示:当时,例1.,证明:,定义.若使得当且时,则称当时,以为极限.,注.表示不仅不与重合,且不在上.,例2.,证明:,命题.的充要条件是:对任意的满足,的,都有,例3.,讨论.例4.,讨论.,2.二元函数极限的基本性质与一元函数类似,有唯一性,有界性,四则运算,极限不等式,夹逼定理.只需将换成.,定理2.1.设在的一个空心邻域有定义.若则(1)(2)(3)当时,定理2.2.设在的一个空心邻域有定义,且.若则,定理2.3.设在的一个空心邻域有定义,且若则,定理2.4.设在的一个空心邻域有定义,且.又设在的一个空心邻域有定义,且此外,当在该空心邻域内时,则,3.累次极限定义.设在区域有定义.若对任一固定的,存在,记之为再考虑时,的极限,若存在,则称之为先对后对的累次极限,或二次极限.,同理定义,注.称为二重极限.,例5.讨论时下列函数的累次极限,(3),(2),(1),命题.若(1)(2)当时,则存在且等于.,4.向量值函数的极限给定向量值函数.假定它在的一个空心邻域有定义.若存在,使得当时,则称向量值函数以为极限.,3多元连续函数,1.定义定义.设在的一个邻域有定义.若,则称在连续.若在区域内有定义,且在内每一点连续,则称在连续.,定义.设是一个区域,它的闭区域为.又设在有定义.如果(1)在连续使得只要那么就称在连续.,2.连续函数的性质定理3.1.设在连续.则，在连续.当时,在连续.,定理3.2.设在连续.又设在连续,且则在连续.,定理3.3.设在连续.又设在邻域有定义且在连续,则在连续.,定理3.4.给定曲线其中在连续.设在区域连续,且,则,其中,注.若在区域连续,则当在中沿任一条弧趋于时,极限都为.,推论.设在邻域连续,则由此又推出,注.若二元函数在一个区域内连续,则当固定一个自变量时,它是另一个自变量的连续函数.,注.反过来是否成立？,3.初等二元函数及其连续性,二元初等函数在定义域内连续.,4有界闭区域上多元连续函数,中基本定理记定义.设是一个矩形序列,称之为一个矩形套,如果它满足(1)(2),定理4.1.设是任意一个矩形套,则存在唯一,且,注.可推广成闭区域套.,注.称为的直径.,定义.设是中点列.若存在实数,使得,则称是有界序列.,注.Bolzano-Weierstras定理在中也成立.,定理4.2.(Bolzano-Weierstrass)中任一有界序列必有收敛子列.,注.若有界,则和有界.,推论.(聚点原理)若是中有界集合,且中有无穷多个点,则至少有一个聚点.,定义.若中序列满足:当时,则称是基本列.定理.(Cauchy收敛原理)中序列收敛的充要条件是:是基本列.,定理4.3.存在的充要条件是:使得只要,定义.设.如果中一组开集满足:则称是的一组开覆盖.如果的任意一组开覆盖,总存在一组有限子覆盖,即存在中有限个开集满足则称是紧集.,定理.(Heine-Borel)是紧集的充要条件是:是有界闭集.,定理4.5.设在有界闭区域上连续,则存在和,使得.,注.有界闭区域可换成有界闭集,即紧集.,2.有界闭区域上连续函数,定理4.4.设在有界闭区域上连续,则为有界函数.,定理4.6.设在有界闭区域上连续,又设和是中任意两点,且则对任意一个，,都存在,使得.,注.证明中只用到的连续性和区域的连通性,因此定理对开区域也成立.,定理4.6.设在区域上连续,又设和是中任意两点,且则对任意一个，,都存在,使得.,推