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2直角坐标系下二重积分的计算,二重积分计算的要点是把它化为定积分.这里有多种方法,其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分.,一、在矩形区域上二重积分的计算,二、在x型或y型区域上二重积分的计算,三、在一般区域上二重积分的计算,返回,一、在矩形区域上二重积分的计算,则累次积分,也存在,且,上可积,且积分的结果恰为二重积分.为此,按这些分点作两组直线,形,式,(2)可得:,(3),分定义,(3)式左边,则累次积分,也存在,且,定理21.9的证明与定理21.8相仿.,时,则有,解应用定理21.8(或定理21.9),有,对于一般区域,通常可以分解为如下两类区域来进,行计算.,称平面点集,为x型区域(图21-5(a);称平面点集,为y型区域(图21-5(b).,二、在x型或y型区域上二重积分的计算,这些区域的特点是当D为x型区域时,垂直于x轴,多与D的边界交于两点.,即二重积分可化为先对y、后对x的累次积分.,类似可证,若D为(5)式所示的y型区域,其中,对x、后对y的累次积分,例2设D是由直线,(图21-6),试计算:,的值.,解若用先对y、后对x的积分,则有,的累次积分来计算:,例3计算二重积分,其中D为由直线,三角形区域(图21-7).,解当把D看作x型区域,时,相应的,所以,例4求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体,积V.,解设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为,利用对称性,只要求出在第一卦限(即,)部分(见第十章图10-9)的体积,然后再乘以8,即得所求的体积.第一卦限部分的立体是一曲顶柱,所以它的体积为,D:,于是,三、在一般区域上二重积分的计算,边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解,成有限个除边界外无公共,内点的x型区域或y型区,域.如图21-8所示,D被分,解成三个区域,其中、,上的连续函数,试将二重积分,化为不同顺序的累次积分.,所以有,(见
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