X08-1-2-3一阶微分方程

第八章微分方程（组）,8-1微分方程（组）,解,一、问题的提出,例2设某种物质沿ox轴均匀分布在区间0,1上分布密度,求分布函数S(x),常微分方程,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,二、微分方程的定义,偏微分方程.,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类1:,分类2:单个微分方程与微分方程组.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,微分方程的解:代入微分方程使方程恒等的函数,微分方程的解,(1)一般解（通解）:含有相互独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同的微分方程的解。,不唯一，求解方法求不定积分,其解是过定点的一条积分曲线;,一阶:,二阶:,初始条件:用来确定任意常数的条件.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,解,所求特解为,P(x,y),Q,O,x,x,y,y=y(x),解：,例3：,为所求的微分方程。,解,开始制动到列车完全停住共需,列车在这段时间内行驶了,通解,特解,8-2一阶微分方程的解法,1、可分离变量的一阶微分方程,的方程称为可分离变量的微分方程.,为微分方程的一般解（通解）.,分离变量法,形如,解法：,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例2求解微分方程,解,两端积分,例3：求解微分方程,解：,解,由题设条件,衰变规律,例5：船从河岸边O点出发驶向对岸，船速为a船行方向始终与河岸垂直，河宽为h，河中任一点处水流速与该点到两岸的距离乘积成正比，求船的航线,解：设小船的航行路线为y=y(x),代入初始条件y(0)=0,得C=0，,则所求航线为：,例6,解,两边同时对求导,解得,所以所求曲线为,解,例7,某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?,设鼓风机开动后时刻的含量为,在内,的通入量,的排出量,6分钟后,车间内的百分比降低到,2、一阶齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,齐次方程可以通过变量代换化成可分离变量的方程,例1求解微分方程,微分方程的解为,解,例2,方程,求y=y(x)?,解,方程两边同时对x求导:,例3求解微分方程,解,微分方程的解为,例4有旋转曲面形状的凹镜，假若由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行求曲线方程,解：MP/AP=y,一般的可化为可分离变量的微分方程通过变量代换将微分方程化为可分离变量的微分方程形式。例求下列方程通解,令x-y-u,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,解,代入原方程,原方程的通解为,一阶线性微分方程,的标准形式,:,Q(X)=0方程称为,齐次的,.,Q(X)0方程称为,非齐次的,.,3、一阶线性微分方程,例如,（定理8-1）齐次方程的通解为,一阶线性齐次微分方程的解法,(使用分离变量法),线性齐次方程的解法：1）可分离变量：2)公式：,例求y+y/(1+x)=0满足初始条件y(1)=1的特解。,线性非齐次方程的解法线性非齐次方程的解线性齐次方程的解之间的关系：,两边积分,相比，就是将：,常数变易(位）法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,齐次方程的通解,变易成,y,y代入线性非齐次方程得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,求解方法：注:1)非齐次方程通解=对应齐次方程通解+非齐次方程一特解2）常数变易;3)公式例1求下列方程通解1)xy+y=sinx解：常数变易法y+y/x=0y=CeP（x）dx=C/x设y=C(x)/x代入方程C(x)/x+C(x)/x2=sinx/x=C(x)=sinxC(x)=-cosx+C=通解：y=(-cosx+C)/x,解,（法2公式法）,例2：求通解,分析：,如果把x看成自变量，把y看成因变量，上式不是一阶线性方程；,反之，如把y看成自变量，把x看成因变量,上式成为：,是一阶非齐次线性方程,例3如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,所求曲线为,P335例6.设有连接O和A（1，1）的连续曲线y=f(x)，P(x,y)为曲线上动点，若直线OP与曲线y=f(x)围面的图形面积为x2，求y=f(x),设曲线方程为y=f(x),按题意有：,两边求导，得：,初始条件y(1)=1,P(x,y),伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,4、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将代回，,这是一个一阶线性非齐次微分方程，已能求解。,例1解微分方程:,解,所求通解为,伯努利方程n=-1,解,例2,5.凑微分法(P339),例如,左端凑为某函数的全微分,凑微分法,8-3可降为一阶的二阶微分方程的解法,解法:,例,解法:,这是关于p的一阶微分方程,若能求出,降低了方程的阶数,例1求方程xy”+y=1通解。解：y=P(x)，y”=p(x)xp+p=1,-ln(1-p)=lnx+lnC1=p=1-C1/x通解：y=x-C1lnx+C2,例2,解法:,降低了方程的阶数,解,代入原方程得,原方程通解为,例1,例2,解,代入方程，得,故方程的通解为,不显含x,y，用不显含y的方法简单。例y”+(y)2=0解：y=P(x)，p=y=1/(x+C1)y=ln(C1+x)+C2,例3已知曲线,它的方程y=f(x)满足微分方程,并且与另一条曲线y=ex相切于点(0,1),求此曲线的方程.,解曲线满足初值问题,.分离变量、积分,上式中无满足初始条件的解，,考虑,满足初始条件的解为