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文档简介

9.1微分方程的基本概念,经济类高等数学,（微积分学）,解,一、问题的提出,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,定义9.1:凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,分类:常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶微分方程,定义9.2:如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等则称此函数为该微分方程的解.,微分方程的解的分类：,三、主要问题-求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,一阶微分方程的一般形式,一、可分离变量的微分方程,称为变量已分离的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,9.2一阶微分方程,-称为可分离变量的微分方程.可化为,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分,又,两端积分,通解为,解,解,由题设条件,衰变规律,二、齐次微分方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,例1求解微分方程,微分方程的解为,解,例2求解微分方程,解,微分方程的解为,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为一阶线性齐次方程.,上方程称为一阶线性非齐次方程.,三、一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1.一阶线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2.一阶线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,任意常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积
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