第二章--双曲型方程

第二章双曲型方程,要求理解决定任意函数法;掌握降维法与分离变量法；明确有关的物理解释；理解能量积分讨论唯一性与稳定性的思想.,内容2.1弦振动方程的初值问题决定任意函数法2.2高维波动方程初值问题Poisson平均值法与降维法习题课二2.3波动方程混合问题分离变量法2.4能量积分唯一性与稳定性习题课三,1.无界弦的自由振动,(2.1.1),(1)求形式解（先求泛定方程包含任意函数的解，再由定解条件决定,任意函数）：,把(2.1.1)化成容易积分的形式，方程(2.1.1)的特征方程为,即,积分之，得,2.1弦振动方程的初值问题决定任意函数法,积分之,得,（称为DAlembert解）,由初始条件，得,积分(2.1.5),得,(2.1.6),由(2.1.4),(2.1.6)得,作代换,则方程(2.1.1)化成,(2.1.2),(2.1.3),(2.1.4),(2.1.5),故问题(2.1.1)的形式解为,即,(2.1.7),称为DAlembert公式.,(2)适定性考查：,存在性若,，则可直接验证(2.1.7)确实是,初值问题(2.1.1)的解.（自做之）,唯一性与稳定性（能量模估计：姜礼尚数学物理方程讲义,PP47-53;或西北大学偏微分方程P34;,本章2.4统一处理）,(3)DAlembert公式的物理解释：,行波（传播波）,若记,，则(2.1.7)可写成,形如,的函数在物理上称为行波，,波速为,以,为例：,设给定波形,则在时刻,，点,处的波形为,，,到了时刻,，我们说,时刻,，点,处的波形传到了,，即,，则应有,由于,，,因而函数,即表示以速度,向右传播的波,同理，函数,表示以速度,向左传播的波.,因此，无界弦的自由振动是左右行进波的叠加，因而所述方法也称行波法.,依赖区间、决定区域、影响区域：,从DAlembert公式看出：,初值问题(2.1.1)的解,上半平面内任一点,的值,仅仅依赖于初值函数在,上的区间（或线段）,上的值.,把,叫做点,的依赖区间，,它由过点,泛定方程的两条特征线所夹成（如图2.2）,内任一点的依赖区间完全落在区间内，亦即线段上的初值函数的值完全决定了初值问题(2.1.1)的解在内每一点的值，因此，把（域I）叫做线段的决定区域（见图2.3）.如图2.4,区域II内每一点处解的值，都要受到初值函数在点处的值的影响，因此，把区域II叫做点的影响区域.而,附注a.无界弦自由振动是左右行进波的叠加，因此，这种方法也叫行波法；b.从依赖区间、决定区域、影响区域看到，解决无界弦自由振动问题，特征线是至关重要的，因而这种方法也叫特征线法.,区间的影响区域则是由过此两点的特征线与该区间所围成的倒梯形区域III(见图2.5).,2.其它定解问题：,一般的，对双曲型方程而言，可用“决定任意函数法”求解的定解问题大体上归结为如下四种：,第一问题（特征问题或Goursat问题）在两条不同族的特征线上给定未知函数的值的定解问题.例如：,第二问题（初值问题或Cauchy问题）在一条曲线上给定未知函数,（的方向不与这条曲线相切）的值的定解问题.例如：,第三问题（达布问题）在一条特征线和一条非特征线上给定未知数的值的定解问题.例如：,第四问题在同一特征角（指由两条不同族的特征线所组成的角）内的两条非特征线上给定未知函数的值的定解问题.例如：,可以证明：双曲型方程的如上四种定解问题都是适定的（即问题的提法都是正确的）,特征线族：,例1求解特征问题,（如图2.6）其中,（相容性条件）,解,由定解条件,“函数方程组”,故,例2求解第三问题,（如图2.9）其中,解,令,可将方程化成,从而,于是,由定解条件：,故,最后给出无界弦强迫振动,的解的表达式为,2.2高维波动方程初值问题Poisson的球面平均值法与Hadamard的降维法,1Poisson公式与解的存在性：,以下就三维齐次波动方程初值问题,(2.2.1),来求解.,(1)预处理：(2.2.1)的解可表为,(2.2.2),其中,是初值问题,的解.,(2.2.3),因而关键是求问题(2.2.3)的解,(2)求(2.2.3)的解：,，考虑,在以,为半径的球面,为心，,上的平均值,(2.2.4),其中,是球面,上的点.,若,设,的外法线方向（也就是半径的）方向余弦为,，则,记,为单位球面：,并注意到,便知,(2.2.4),定理1函数,（2.2.5）,满足初值问题(2.2.3).,证明,Gauss公式：,记,所围球体为,(2.2.6),故,成立，,即(2.2.5)满足(2.2.3)的泛定方程.,又（2.2.4）：,而(2.2.6)的推导给出：,即(2.2.5)亦满足(2.2.3)的初始条件.证毕.,又,(3)初值问题(2.2.1)的解:,由公式(2.2.2)便知初值问题(2.2.1)的解为,(2.2.7),称为三维齐次波动方程初值问题解的Poisson公式.,(4)存在性定理：,由以上得到Poisson公式的过程我们同时得到如下定理：,定理（存在性定理）,若,则(2.2.5)是初值问题(2.2.3),的古典解，且当,时，,推论,若,则(2.2.7)是(2.2.1)的古典解.,（2.2.8）,将从(2.2.7)导出其解的表达式.,由(2.2.8)的初值可构造特殊的三维初值：,则,应形式的满足,2降维法：,把低维问题看成高维问题的特例，直接从高维问题的求解公式导出低维,问题解的表达式的方法称为降维法.,以二维波动方程初值问题为例：,于是，可用Poisson公式(2.2.7)表示(2.2.8)的解，但其中不应出现,则,如图2.12，,沿,的积分应换成沿,在平面,上的投影区域,：,上的积分的两倍.而,由,知,+,+,即,(2.2.9),称为二维Poisson公式.,3.高维波动方程初值问题解的物理解释：,(1)依赖区域、决定区域和影响区域：,以二维情形为例：由二维Poisson公式可知：,空间点,处的,值仅依赖于初值函数在,平面上的圆域,上的值，把此圆域叫做点,的依赖区域（如图2.13）,平面上的闭圆域,在,中的决定区域,是以这闭圆盘为底，以,为顶点的圆锥,体区域：,（如图2.14）,平面上一点,的影响区域是,空间中以,为顶点，母线与,轴的夹角为,的圆锥体：,(如图2.15）,我们称,为二维波动方程,的特征锥面.,(2)Huygens原理与波的弥散：,三维波动：,的传播(利用(2.2.7)：,外一固定点,处的扰动情况：当且仅当,因此，无后效.,在固定时刻,的情况：当且仅当,故此时处于扰动的点,的集合是,其边界是球面族,的,包络，称为,所以，三维初始局部扰动的传播有清晰的波前(前锋)和波后(后峰)，没有,后效，这时Huygens原理成立(利用某一时刻的波前推算另一时刻的波前),二维扰动：,的传播（利用(2.2.9)）,外一固定点,的扰动：,当且仅当,时，才可能有,且此后扰动不消失，但因Poisson公式分母中含有,一般来说先增大，然后,自某时刻起逐渐减小，,无限增大时,就无限减小，因此有持久后效.,固定时刻,的情况（平面上哪些点在动）：,这时，Huygens原理不成立，这种现象称为波的弥散.,4.推迟势：,(2.2.10),的解,(2.2.11),其中,满足,由Poisson公式,(2.2.13),(2.2.12),故,令,(2.2.14),称(2.2.14)为推迟势(时刻,的外力在,以后,的时间才起作用),附注：非齐次方程、非齐次Cauchy条件,(2.2.15),问题的处理途径有二：,利用简单叠加原理和Duhamel原理:,(2.2.15)的解,的求解详见Poisson公式(2.2.7),的求解详见推迟势(2.2.14).,先将Cauchy条件齐次化，再用Duhamel原理:,其解为,称为Kirchhoff公式.,2.3波动方程混合问题分离变量法,1两端固定有界弦的自由振动：,(2.3.1),(1)形式解的导出与解的存在性,变量分离,设,代入(2.3.1)的泛定方程，得,以,除之，得,于是,由边界条件，有,从而,解,（2.3.2）,（称为“特征值问题”或“固有值问题”）,及,（2.3.3）,可证,是实数.事实上，设,为复数，对应的解为,不恒为零，则,用,乘第一个方程，用,乘第二个方程，作差再从0到,积分之，得,=0,因,故,即,是实数.,其次，可以证明,事实上,要此式成立，必须,可记作,即,先解特征值问题,（2.3.2）,由,于是，,此时方程无非平凡解.,从而,即,（2.3.4）,称为“特征值”或“固有值”于是,（2.3.5）,称为“特征函数”或“固有函数”,再解,（2.3.3）,其通解为,（2.3.6）,于是得到泛定方程满足齐次边界条件的一系列特解,（2.3.7）,其中,称为特征解或本征解，,叠加，定系数：,形式地取,（2.3.8）,由初始条件,利用,（称为,在,上具有正交性）.,可得,（2.3.9）,以上的过程称为分离变量法，所得之解仅为形式解，是否是解，还需验证.,我们给出如下的定理：,定理（解的存在性）,当,分段连续时，（2.3.8）和（2.3.9）,便是混合问题（2.3.1）的古典解.,（2）解的物理解释,（姜礼尚等P79-80,谷超豪等P19,西北大学P.D.E.P51-53）,级数（2.3.8）的通项可写成,其中,表明每个,是这样的一种振动：,弦上各点以同一固有频率,（因它只和,有关，而,与初值无关，于是知,亦与初值无关而称为固有频率）作简谐振动，,，但振幅（,）因点而异.,任一时刻,，弦的外形为一正弦曲线，在使,的点：,处，于任何时刻都有,各点的初相都是,个节点（无位移的点），这种包含节点的振动称为,的各个驻波称为,的驻波称为基波，,次谐波.,故两端固定有界弦的自由振动是不同固有频率驻波的叠加（因而分离,变量法也称驻波法或Fourier方法）,2.两端固定有界弦的纯强迫振动,（2.3.10）,由1.5的Duhamel原理，（2.3.10）的解,（2.3.11）,其中,满足,驻波，,（2.3.12）,（2.3.12）与（2.3.1）比较：,由（2.3.8），（2.3.9）有,（2.3.13）,把（2.3.13）代入（2.3.11）便得（2.3.10）的形式解.,3.一般强迫振动,（2.3.14）,的处理步骤如下：,（1）边界条件齐次化,尝试作函数代换,选择,使得,亦即,则,为满足上述条件的最简单的辅助函数.,附注：事实上，视,为参数，设,（如图2.22）,这不是定解问题,令,（2.3.15）,则在此代换下，（2.3.14）可化成,（2.3.16）,（2）“拆”：,（2.3.16）的解,（已在1中解决）,（已在2中解决）,因此，用“分离变量法”求解弦振动方程混合问题最基本的是问题（2.3.1）,附注：求解强迫振动问题,的“特征函数法”（“固有函数法”或“本征函数法”）,思路,基于齐次边界条件下的特征函数，把解展开成特征函数的Fourier级数.,代入方程比较系数得到解的系数,满足的常微分方程的初值,问题，并求出,（姜：P81-82,西大P.D.E.P61-63）,局限性,特征函数因齐次边界条件而变,因方程是非齐次的，因而得到的常微分方程的初值问题一定是非齐次的,2.4能量积分唯一性与稳定性,以均匀膜的振动方程,（2.4.1）,为例（详细推导参见谷超豪等P24-25）,1.振动的总能量,（2.4.2）,(1)动能：,其中,是膜在,平面（平衡位置）上的投影.,(2)位能：,形变位能=面积变化与张力的乘积.,（略去高阶项）,（2.4.3）,若使膜的边界,保持平衡的弹性内力在单位长度上的弹性系数为,则应当附加弹性位能,（若边界固定或自由，则,）,（2.4.4）,（2.4.5）,这便是膜在振动过程中的总能量（称为能量积分）,2.波动方程混合问题解的唯一性、稳定性,考虑有界均匀膜振动混合问题,（2.4.6）,（1）唯一性,定理1（2.4.6）若有解，必唯一.,证明,设（2.4.6）有多于一个的解，任取其二,满足,我们将证明,由于,Green公式,再“分部积分”,因而,为常数（能量守恒）.,由,和（2.4.5），,便知,故,于是，对,所以，,常数.但,（证出来的中间产品），,由,的连续性，在,唯一性证完.,（2）稳定性（谷超豪等P41,陈庆益等P90-91）,一般意义可直接利用解的表达式，以下是平均意义下的稳定性.,设,是满足齐次方程和齐次边界条件,的任一函数，记,（2.4.7）,则,（利用,）,即,乘以,且关于,积分之，得,即,（能量守恒）,于是,（2.4.8）,称为能量不等式.,设,是满足（2.4.6）的解，,而,满足（为简单计，设,均为常数）,记,满足,当,应用能量不等式（2.4.8），得,称,为,在,上的“平方模”，记作,则,因此，我们得到如下的,定理2,在任何有限时刻（或时间间隔），当,本身及其一阶偏导数和,本身在,上的平方模都充分小，并且,在,上的平方模也充分小时，,的平方模在,上可任意小（这是一种平均意义下的连续依赖性，较通常,要广泛）,则,意义下：若,因此，波动方程混合问题（2.4.6）的解以上述意义连续的依赖于初值.,附注：关于混合问题（2.4.6）的解对自由项,虽然只对二维给出了证明，但对任意维都适用.这种方法称为能量积分法.,的连续依赖性，参见,陈庆益等P92-93,谷超豪等P41.,3.波动方程初值问题解的唯一性与稳定性,以二维波动方程初值问题（Cauchy问题）为例：,（2.4.9）,(1)唯一性,定理3,（2.4.9）若有解必唯一.,证明,只需证明当,（此时不能,计算整个膜的能量，因我们的区域是无穷区域）,考虑,空间以点,为顶点，以,为底面的特征锥体,（如图2.23）,当,由不等式（2.