广金微积分9.2一阶微分方程二

第二节一阶微分方程,1.可分离变量的微分方程,2.齐次微分方程,3.一阶线性微分方程,17:29:34,一、微分方程的解、通解、特解,如果把一个函数代入微分方程后，,则称此函数为微分方程的解.,若微分方程的解中含有独立的任意常数,通解:,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，,则称这样,的解为微分方程的通解。,或确定了通解中任意常数以后的解.,特解:,把微分方程中不含任意常数的解，,复习,解:,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,17:29:34,二、一阶微分方程求解方法,（初等积分法）,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,1、可分离变量的微分方程:,分离变量法,复习,二、一阶微分方程求解方法,（初等积分法）,17:29:34,例,求解微分方程,Solution:分离变量得,两边积分,从而,17:29:34,一、分离变量法,9.2一阶微分方程,1.可分离变量的微分方程,2.齐次微分方程,3.一阶线性微分方程,17:29:34,二、齐次微分方程,形如,微分方程的右端为齐次函数.,若这里t为任意,则称为齐次函数）,例下列方程为齐次微分方程.,定义,称为齐次微分方程.,实数，,（齐次函数是指：,齐次微分方程的特点：,的微分方程，,9.2一阶微分方程,17:29:34,可分离变量的方程,(化为可分离变量的微分方程),（4）,齐次微分方程的解法,对齐次微分方程,即,作变量代换,两边求导得,将其代入原方程，,得,(替换分离法),求出积分后，,即得原方程的解。,分离变量得,它的通解为,二、齐次微分方程,17:29:34,例1求微分方程的通解,作变量代换,即,分离变量取积分，得,求不定积分，得,即,将回代，,解,即,则,得到原方程的通解为,二、齐次微分方程（替换分离法）,17:29:34,例2求微分方程的通解.,解,即,分离变量取积分，得,求不定积分，得,即,将回代，,作变量代换,即,则,得到原方程的通解为,原方程可写为,17:29:34,二、齐次微分方程（替换分离法）,解,原方程可改写成,代入原方程得,分离变量得,两边积分得,则原方程的通解为,例3,17:29:34,二、齐次微分方程（替换分离法）,例4求解微分方程,微分方程的通解为,解,17:29:34,二、齐次微分方程（替换分离法）,例5,Solution.,17:29:34,二、齐次微分方程（替换分离法）,17:29:34,二、齐次微分方程（替换分离法）,例5,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,1、可分离变量的微分方程:,2、齐次方程,分离变量法,替换分离法,小结,典型的一阶微分方程求解方法,即得原方程的解。,求出它的通解后,（初等积分法）,17:29:34,小结,作业P3853（4，7），,17:29:34,下次课内容9.2一阶线性微分方程,三、一阶线性微分方程,形如,一阶线性微分方程.,的微分方程,也称为与方程,相对应的一阶齐线性次微分方程。,定义,或称线性齐次方程,为线性非齐次方程的特殊情况。,称为,上方程称为一阶线性齐次方程.,上方程称为一阶线性非齐次方程.,特点,“一阶”：未知函数的导数为一阶.,“线性”：未知函数及其导数都是一次.,17:29:34,非齐次项或右端项,例,一阶齐次线性方程,一阶非齐次线性方程,三、一阶线性微分方程,（一）一阶线性齐次微分方程的求解,17:29:34,（一）一阶线性齐次微分方程的求解,求线性齐次方程的通解.,（C为任意常数）,(使用分离变量法),（通解公式）,三、一阶线性微分方程,17:29:34,解2,将方程两边同除以x，得,这是一个线性齐次方程，,代入通解公式得,例1,（用分离变量法）,解1,（公式法）,（通解公式）,例2,三、一阶线性微分方程,17:29:34,例2,解,这是一个线性齐次方程，,代入通解公式得,三、一阶线性微分方程,例3,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,求线性非齐次方程的通解.,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,的特殊情况，,我们可设想将齐次,线性方程通解式中的常数C换成待定函数,有可能是线性非齐次方程,即,的解。,下面我们研究这种方法的可行性。,三、一阶线性微分方程,17:29:34,将上式变形为,两边积分,为非齐次方程通解形式,与线性齐次方程通解相比:,求线性非齐次方程的通解.,则,由此，引入求解一阶线性非齐次方程的,常数变易法。,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,求非齐次线性方程的通解.,设,将其对x求导,得,是非齐次方程的解,将上式积分，得,其中u(x),为待定.,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,上式即为线性非齐次微分方程的通解.,(通解公式),（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,得线性非齐次方程的通解,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,17:29:34,一阶线性非齐次微分方程的通解可写为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,结论：,一阶线性非齐次方程的通解是对应的线性,齐次方程的通解与其自身的一个特解之和。,以后还会,看到，这个结论对于高阶线性非齐次方程亦成立。,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,一阶线性非齐次微分方程的两种求解方法,方法一：常数变易法,（1）求齐次方程的通解,（2）将齐次方程通解中的常数变易为函数,（3）变易后的函数代入非齐次方程中确定,（*）,（4）函数代入（*）式得非齐次通解,求线性非齐次方程的通解.,17:29:34,方法二：公式法,（1）将给定方程变为标准方程形式,（2）确定方程中的,（3）将代入方程的通解公式中,（4）积分得线性非齐次微分方程通解.,一阶线性非齐次微分方程的两种求解方法,17:29:34,解,例1,第一步，求相应的线性齐次方程的通解,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,或,解,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,例1,（二）一阶非齐次线性微分方程的求解,17:29:34,解2(公式法),例2,解法1（常数变易法）,所以,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,故得原线性非齐次微分方程的通解为,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,例2,17:29:34,解法2公式法,将其代入公式通解公式，得通解,17:29:34,将方程标准化为,于是,由初始条件,故所求特解为,得,例3,解,的特解.,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,注意:,类似地，对于以x为函数的一阶非齐次线性方程,同时也有常数变易法.,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,例4,则方程可改写为,解,对于未知函数x(y为自变量)来说，,其通解公式为,性非齐次方程,上式方程为一阶线,由方程变为,则显然不是线性微分方程.,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,这里,将其代入通解公式，,得所求方程的通解为,17:29:34,例5,解,方程化为,其中,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,所以,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,例6,解,代入通解公式得,将,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,例7如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,即,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,所求曲线为,（二）一阶线性非齐次微分方程的求解,17:29:34,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,1、可分离变量的微分方程:,2、齐次方程,分离变量法,替换分离法,小结,典型的一阶微分方程求解方法,即得原方程的解。,求出它的通解后,（初等积分法）,17:29:34,3、一阶线性微分方程,（通解公式）,公式法,分离变量法,求线性非齐次方程的通解.,公式法,（通解公式）,常数变易法,典型的一阶微分方程求解方法,（初等积分法）,17:29:34,小结,作业P3853（4，7），5（1，2，4）,17:29:34,下次课内容第十章差分方程初步,思考题,1.求解微分方程,2.方程,是否为齐次方程?,9.2一阶微分方程,17:29:34,思考题解答,为所求解.,9.2一阶微分方程,1.求解微分方程,解:,17:29:34,解:方程两边同时对求导:,原方程是齐次方程.,9.2一阶微分方程,