第九章-微分方程

1、微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:含有未知函数的导数(或微分)的等式.,一、微分方程的定义,常微分方程,偏微分方程,9.1微分方程的基本概念,2、微分方程的阶:微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.,分别为一阶、二阶、一阶微分方程,思考：,3、微分方程的解:将某个函数代入微分方程，能使方程恒等。则称此函数为微分方程的解。,4、微分方程解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,例1：验证下列函数都是微分方程y”-2y+y=0的解,C，C1，C2均为常数,均为解，有何区别？,(2)特解:通解中任意常数取确定数值后所得到的解.,特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解,称为定解条件，也称为初始条件,求特解步骤：先求通解，然后代入定解条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。,定解条件即初值条件:,一阶:,过定点的积分曲线;,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,解:y=2C1e2x-2C2e-2x,y”=4C1e2x+4C2e-2x,例2.验证y=C1e2x+C2e-2x是微分方程y”-4y=0的通解，并求满足y(0)=1,y(0)=-6的特解.,因为y”4y，故y=C1e2x+C2e-2x是原方程的解，又因为解中含有两个独立的常数，故为通解.,将y(0)=1,y(0)=-6代入y,y得：,满足y(0)=1,y(0)=-6的特解为：y=-e2x+2e-2x,一般形式：,常见形式：正规型,一、可分离变量的微分方程,9.2一阶微分方程,解法：分离变量，两边直接积分即可。,能化成：f(x)dx=g(y)dy的方程称为可分离变量的微分方程,例1求解微分方程,解：分离变量，得(2x-1)dx=dy,两边积分得：y=x2-x+C,此即所求的通解.,例2求微分方程,两端积分得：x2/2=-y2/2+c2/2,与例1的区别：例1的解是一个显函数，例2的解是一个隐函数.微分方程的解既可显函数也可隐函数.,注意：将常数c写成c2/2是为了通解的化简.,故y=c/x为所求通解,解：分离变量，得dy/y=-dx/x,两边积分得：ln|y|=-ln|x|+c1,即ln|xy|=c1,为了便于化简，采用如下方法,解：分离变量，得dy/y=-dx/x,两边积分得：lny=-lnx+lnc,即xy=c,故y=c/x为所求通解,说明1：解微分方程中形如，有时可以直接写为lnx,lny而不必再加绝对值。,说明2：解微分方程时若积分后，出现对数,积分常数常写成lnc形式，以便于合并化简,两端积分,为所求通解,例5:已知某商品需求量Q,对价格p的弹性，且该商品的最大需求量为200，求需求函数Q。,解：由题意得：,方程（1）可化为：,两端积分得：,将Q(0)=200代入，可得C=200,故所求需求函数,例6：设在连续，且满足，求,解：原方程对x求导：,即：,分离变量得：,两端积分得：,由原方程可知：f(0)=0代入通解c=2,故,小结,2.一阶微分方程的解法分离变量法：分离变量的含义？步骤：分离变量，两边积分，不是二重积分！,基本概念：微分方程的定义微分方程的阶数=导数阶数微分方程的解：通解、特解,练习：y=ex+y的通解,练习:设连续函数f(x)，满足，求,解：求导得,即：,解之：,又由22f(2)=0可得：f(2)=1,积分：,方程中f(x,y)就是齐次函数,二、齐次方程,3.解法,作变量代换u=y/x,代入原方程，转化为可分离变量的微分方程,1.标准形式,2.常见形式,要分清新老变量！,例1求解微分方程,微分方程的通解为,解,原方程可变形为:,例2求解微分方程,解,（1）,微分方程的解为,一阶线性微分方程的标准形式:,上述方程称为齐次的.,上述方程称为非齐次的.,三、一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,未知函数及导数都是一次的,1.一阶线性微分方程的通解公式.,一阶线性微分方程的解法,今后，我们利用公式法求一阶线性微分方程,公式的特点：（1）与互为倒数；先负后正,（2）常数C在中括号里面,注意：首先认准P,Q，其次积分不含常数,(3)中括号内只需计算一次积分,解:,例1,代入通解公式：,得,原方程的通解为：y=x-1(-cosx+C),所求特解为,例2:,解:原方程化为:,代入得,解:原方程化为,注:此类方程可化为一阶线性微分方程的微分方程,特点:不显含未知函数y,解:原方程可化为,代入通解,解:求导得,由题意知代入通解:,例6.,注意:和的区别.,练习:已知,求f(x),两边再求导得,即(2y-t)y=2yt+t/2y=1，代入通解公式得,将t=1代入(*)得f2(1)=f(1)f(1)=1,于是c=1/3，f(x)满足,9.3二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的一般形式为,(9.20),其中a,b,c为常数，且a0,f(x)为已知函数,当f(x)0时，得到,(9.21),我们称方程(9.20)为二阶常系数线性非齐次方程;方程(9.21)为二阶常系数线性齐次方程。,一.线性相关与线性无关函数组,，,解:因为,例2函数y1=x2,y2=x在(-,+)上线性无关,解设有常数c1,c2使得,即,由于上述一元二次方程最多只有两个根，因此要对任意的x上式成立，只有c1=c2=0此即表明y1=x2,y2=x在(-,+)上线性无关,判断两个函数是否线性相关，有如下的简单方法：,若y1(x)/y2(x)=常数，则y1，y2线性相关；若y1(x)/y2(x)常数，则y1，y2线性无关.,二、二阶常系数线性齐次方程的通解,1.二阶线性齐次方程解的结构定理:,证明：因为y1,y2是方程(1)的解，所以y1”+py1+Qy1=0，y2”+py2+Qy2=0,代入原方程的左边得,c1(y1”+py1+Qy1)+c2(y2”+py2+Qy2)=0,定理也可描述为：,齐次方程（1）的通解是它的两个线性无关特解的线性组合。如何求出两个线性无关的解？,2、特征方程,注意：如果y1/y2=常数，则,ay”+by+cy=0的特征方程为：ar2+br+c=0,故有,特征方程,将其代入上方程,得,思考：哪一类函数可能是方程（1）的解？,练习：写出下列微分方程的特征方程,特征方程的根称为,特征根,3.通解的形式,1)特征方程有两个不相等的实根(0),方程(1)两个线性无关的特解,常数，,得齐次方程的通解为,2)特征方程有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,3.）有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,齐次方程（1）的通解公式：,例1,解,特征方程为,特征根,故通解为,其中C1,C2为任意常数,解,特征方程为,特征根,故通解为,例2,例3,解,特征方程为,特征根,故所求通解为,其中C1,C2为任意常数,其中C1,C2为任意常数,解,特征方程为,特征根,故所求通解为,例4：,注意这种类型，往往错写！,例5：,解,特征方程为,特征根,通解为,其中A,B为任意常数,其中C1,C2为任意常数,将分别代入上两式，得：,故原方程所求特解为,小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,若y(x)满足则,（1994年）,解：由,故通解：,将初始条件代入可求得C12，C2=0,二、二阶常系数非齐次线性方程通解,1、解的结构定理:,非齐次的两个特解之差是齐次方程的解,证明:(同学们试一试),非齐次通解齐次通解非齐次特解,怎样求？,定理可简单描述为：,（证明）,2、非齐次方程特解的求法待定系数法,根据非齐次项，假设其解函数求出待定系数得其特解。,1、若f(x)=c，则y*=k（常数）,2、若f(x)=cerx，则y*=kerx,3、若f(x)=b0 xm+b1xm-1+bm-1x+bm，则y*=a0 xm+a1xm-1+am-1x+am,4、若f(x)=c1cosx+c2sinx，则y*=Acosx+Bsinx,注:,1、后两种情形时，若f(x)为多项式，则不论共有几项构成，特解都必须设为同次的完全多项式；若f(x)只是正弦或余弦时，特解也必须设为正、余弦的线性组合。,2、若f(x)是以上不同情况的乘积时，则特解设为相应情况的乘积。（注意系数的合并）,3、若特解中与对应的齐次方程的通解中有同类项，则特解应乘以x，直至无同类项为止。,例1求下列方程的特解,原方程的特解为：y*=-xex,原方程的特解为：,原方程的特解为：,求非齐次方程通解的步骤:1、求出对应齐次方程的通解2、根据齐次方程的特征根,设特解y*3、求出待定系数，得非齐次方程的一个特解y*4、利用定理得非齐次方程通解y=+y*,其中C1,C2为任意常数.,解的叠加原理,本章主要知识点：1.方程的阶数、通解与特解,2.一阶微分方程的解法可分离变量的微分方程分离变量、两边积分齐次微分方程令u=y/x，化为可分离变量的方程一阶线性微分方程用公式,3.二阶常系数线