常微分方程CH-4-1

1,上的连续函数。,其中,及,都是区间,4.1线性微分方程的一般理论,n阶线性微分方程的标准形式,(4.1),第四章高阶微分方程,2,方程(4.1)称为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐线性微分方程。,n阶齐次线性微分方程,简称齐线性微分方程.,如果,(4.2),，则方程(4.1)变为,通常把方程(4.2)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程。,机动目录上页下页返回结束,3,(4.3),定理1,及,都是区间,上的连续函数，,及任意的,方程(4.1)存在唯一,解,定义于区间,上,且满足初始,1线性微分方程解的存在唯一性定理,如果,条件：,则对于任一,机动目录上页下页返回结束,4,2齐线性方程的解的性质与结构,定理2（叠加原理）,(4.2)的k个解，,则对任意常数,也是(4.2)的解。,是方程,问题1:,在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.2)的通解?,是否为(4.2)的通解？,(4.4),问题2:,如果,机动目录上页下页返回结束,5,设,在,如果存在不全为零的常数,则称这些函数是线性相关的，,在所给的区间上线性无关。,上有定义，,使得,否则就称这些函数,线性相关与线性无关的定义,机动目录上页下页返回结束,6,又如,函数,在任何区间上都是,线性无关的,都是线性相关的。,例如，,在任何区间上都是线性,无关的；,在任何区间上,和,和,函数,但函数,机动目录上页下页返回结束,7,线性相关与线性无关的判别法则,称,设函数组,每一个均有,阶导数，,为这些函数的朗斯基（Wronski）行列式。,机动目录上页下页返回结束,8,定理3,在,上线性相关，,证明：,使得,函数组的Wronski行列式的性质,若函数,由假设，存在一组不全为零的常数,则,机动目录上页下页返回结束,9,(4.5),依次对t微分得,10,把(4.5)看作关于,它的系数行列式,于是由线性代数理论知，,的齐次线性代数,方程组，,由假设，,(4.5)均有非零解，,即,机动目录上页下页返回结束,11,定理3,在,上线性相关，则,若函数,Corollary,若,则,在a,b线性无关。,注：,函数组线性相关,机动目录上页下页返回结束,12,设,例如：,显然,但它们在此区间上却是线性无关的。,假设,机动目录上页下页返回结束,13,定理4,在区间,上线性无关,如果方程(4.2)的解,证明,考虑关于,的齐次线性代数方程组,(反证法),设,(4.6),则,机动目录上页下页返回结束,14,令,其系数行列式,所以(4.6)有非零解,是方程(4.2)的解且满足,根据叠加原理，,(4.7),机动目录上页下页返回结束,15,n阶齐线性方程(4.2)的n个解的朗斯基,行列式,或者处处不等于零。,注：,或者恒为零，,机动目录上页下页返回结束,由解的唯一性,即知,显然,也是方程(4.2)满足(4.7)的解。,即,矛盾。,不全为零，,线性相关，,16,根据存在唯一性定理，方程(4.2)满足初始条件：,Q：是否存在n个线性无关的解？,的解,一定存在，,且线性无关。,机动目录上页下页返回结束,17,齐线性方程的解的性质与结构,机动目录上页下页返回结束,(4.2),线性相关与线性无关的定义及判别,18,为这些函数的朗斯基（Wronski）行列式。,机动目录上页下页返回结束,19,机动目录上页下页返回结束,20,定理5,n阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。,定理6(通解结构定理),是方程(4.2)的n个线性无关的解,则方程(4.2)的,通解可表为,方程(4.2)的所有解。,(4.8),其中,是任意常数，,若,且通解(4.8)包括了,机动目录上页下页返回结束,21,事实上，,证明,且这些常数是彼此独立的。,首先,由叠加原理知道(4.8)是(4.2)的解,它,包含有n个任意常数,因而，(4.8)为方程(4.2)的通解。,机动目录上页下页返回结束,22,机动目录上页下页返回结束,23,下证它包括了方程的所有解。,设,为(4.2)的任一解，,且设,作线性代数方程组,(4.9),机动目录上页下页返回结束,24,令,其系数行列式,所以(4.9)有解,则,为(4.2)的解且满足,由解的唯一性得,即,机动目录上页下页返回结束,25,Corollary,n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。,注2：基本解组不唯一。,方程(4.2)的一组n个线性无关解称为方程的一个,基本解组。,方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n.,注1：求齐线性方程的通解，只需知道它的一个基本解组即可。,机动目录上页下页返回结束,26,考虑n阶非齐线性方程,(4.1),3非齐线性方程通解的结构,(4.2),性质1,是方程(4.1)的解,而,(4.2)的解，则,性质2方程(4.1)任意两个解之差必为(4.2)的解。,n阶非齐线性方程的性质：,是(4.1)的解,如果,是,机动目录上页下页返回结束,27,定理7,为方程(4.2),的基本解组，而,是方程(4.1)的某一个解，,则方程(4.1)的通解可表为,(4.10),且(4.10)包括了方程(4.1)的所有解。,其中,为任意常数。,设,n阶非齐线性方程通解的结构,齐线性方程的通解,非齐线性方程的特解,机动目录上页下页返回结束,28,使得,由性质1易知(4.10)是方程(4.1)的解，,它包含有n个任意常数，,且易证这些常数是,设,则,是方程(4.2)的解，,是方程(4.1)的任一解，,证明,彼此独立的。,因此，它是方程(4.1)的通解。,从而存在常数,即,由,的任意性，知,(4.10)包括(4.1)的所有解。,机动目录上页下页返回结束,29,注：求非齐线性方程的通解，只需知道它的一个解和对应的齐线性方程的基本解组。,进一步，只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐线性方程的解。,机动目录上页下页返回结束,30,常数变易法,是方程(4.2)的基本解组，,设,(4.11),则,为(4.2)的通解。,(4.12),设,为(4.1)的解，,其中,为待定,函数，,将(4.12)代入(4.1)。,机动目录上页下页返回结束,31,令,则,令,则,机动目录上页下页返回结束,32,令,则,机动目录上页下页返回结束,33,机动目录上页下页返回结束,34,机动目录上页下页返回结束,35,或,机动目录上页下页返回结束,36,其行列式,因而方程组,设,关于,可解。,机动目录上页下页返回结束,37,则,解,利用常数变易法。,设,对应齐线性方程的通解为,(1),令,则,(2),因而,(3),机动目录上页下页返回结束,38,将(1)与(3)代