第七章-Matlab符号计算

第七章Matlab符号计算,第七章主要内容,符号计算基础符号函数及应用符号积分级数符号方程求解,1、符号计算基础,符号计算即直接对抽象的符号对象进行计算，并将所得到结果以标准的符号形式来表示，它可以获得比数值计算更一般的结果。Matlab中的符号运算工具箱是建立在功能强大的Maple软件的基础上。1993年MathWorks公司购买了数学软件Maple的使用权，随后以Maple的内核作为符号计算引擎，依赖Maple已有的函数库，开发了实现符号计算的工具箱。,1、符号计算基础,建立符号对象-sym函数sym函数用来建立单个符号量，一般调用格为：符号量名=sym(符号字符串)该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。符号变量参与运算前无须赋值，其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式。,1、符号计算基础,例：符号变量与数值变量差别a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);x=5;y=-8;z=11;w=a*a+b*b+c*cW=x*x+y*y+z*zwhos,观察结果,1、符号计算基础,应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。,1、符号计算基础,例：符号常量与数值常量差别k1=sym(8.2)k2=sym(3.7)r1=8.2;r2=3.7;sqrt(k1+sqrt(k2)sqrt(r1+sqrt(r2),用符号常量进行计算更像在进行数学演算，所得到的结果是精确的数学表达式，而数值计算结果将近似为一个有限小数。,结果k1=41/5k2=37/10ans=1/10*(820+10*370(1/2)(1/2)ans=3.1818,1、符号计算基础,syms函数函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。函数syms一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：syms符号变量名1符号变量名2符号变量名n用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。例如：symsabcd,1、符号计算基础,建立符号表达式含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：利用单引号来生成符号表达式。用sym函数建立符号表达式。使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,1、符号计算基础,建立符号表达式-利用单引号来生成符号表达式y=1/sqrt(2*x)f=cos(x2)-sin(2*x)=0结果显示：y=1/sqrt(2*x)f=cos(x2)-sin(2*x)=0,1、符号计算基础,建立符号表达式-用sym函数建立符号表达式U=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6)M=sym(a,b;c,d)结果显示：U=3*x2-5*y+2*x*y+6M=a,bc,d,1、符号计算基础,建立符号表达式-用已定义的符号变量组成符号表达式symsxy;V=3*x2-5*y+2*x*y+6结果显示：V=3*x2-5*y+2*x*y+6,符号表达式的四则运算符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。f=2*x2+3*x-5g=x2-x+7symadd(f,g)；symsub(f,g)；symmul(f,g)；symdiv(f,g)；sympow(f,3*x),符号表达式的四则运算与数值运算一样，也可以利用+、-、*、/、运算符实现符号运算。symsxyz;f=2*x+x2*x-5*x+x3+exp(2)f=2*x/(5*x)f=(x*x-y*y)/(x-y),1、符号计算基础,符号表达式的提取分子和分母运算如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：n,d=numden(s)该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。,1、符号计算基础,a=sym(0.333)n,d=numden(a)f=sym(a*x2/(b+x)n,d=numden(f)g=sym(x2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1)%运算后提取n,d=numden(g)h=sym(3/2,(2*x+1)/3;a/x+a/y,3*x+4)%矩阵形式n,d=numden(h),1、符号计算基础,符号表达式的因式分解与展开factor(s)：对符号表达式s分解因式。expand(s)：对符号表达式s进行展开。collect(s)：对符号表达式s合并同类项。collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。,1、符号计算基础,symsabxy;A=a3-b3;factor(A)%对A分解因式s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);expand(s)%对s展开collect(s,x)%对s按x合并同类项factor(sym(420)%对符号整数分解因式,1、符号计算基础,符号表达式的化简simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。,symsxyas=log(2*x/y);simplify(s)s=(-a2+1)/(1-a);simplify(s),1、符号计算基础,符号表达式与数值表达式之间的转换利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。函数eval可以将符号表达式变换成数值表达式。,sym(1.5)sym(3.14)phi=(1+sqrt(5)/2eval(phi),1、符号计算基础,符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(s,n)函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。Matlab按离字母x最近的原则确定默认变量。,1、符号计算基础,symsxayzb;s1=3*x+y;s2=a*y+b;findsym(s1)findsym(s2,2)findsym(5*x+2)c=sym(3);findsym(a*x+b*y+c),symsxayzbw;findsym(a*y+b*w,1)findsym(a*z+b*w,1)findsym(a*5+b,1),2、符号函数及其应用,符号函数的极限limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。,2、符号函数及其应用,limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。,2、符号函数及其应用,求下列极限,symsamx;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a)f=(sin(x+a)-sin(x-a)/x;limit(f)f=x*(sqrt(x2+1)-x);limit(f,x,inf,left)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right),2、符号函数及其应用,符号函数的求导diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。diff(s,v)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。diff(s,v,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。,2、符号函数及其应用,symsabtxyz;f=x*cos(x);diff(f,x,2)diff(f,x,3)f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)2f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)zy=-diff(f,y)/diff(f,z),2、符号函数及其应用,x=sym(x);y=x3+3*x-2;f=diff(y);g=f-4;solve(g),在曲线上哪一点的切线与直线y=4x-1平行,3、符号积分,（1）符号函数的不定积分int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分,x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f)f=sin(x)2;int(f),ans=27*x-1/7*x7+9/5*x5-9*x3ans=1/2*cos(x)*sin(x)+1/2*x,3、符号积分,（2）符号函数的定积分int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定积分。当函数f关于变量x在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。,3、符号积分,x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf)f=x3/(x-1)10;I=int(f,2,3)int(4*x/t,t,2,sin(x),ans=1/2ans=piI=138535/129024ans=4*log(sin(x)*x-4*log(2)*x,4、级数,（1）级数的符号求和求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：symsum(s,v,n,m)其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。,4、级数,n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf)s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf)s3=symsum(n*xn,n,1,inf)s4=symsum(n2,1,100),s1=1/6*pi2s2=log(2)s3=x/(x-1)2s4=338350,4、级数,（2）函数的泰勒级数taylor(f,v,n,a)该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止；n的缺省值为6，v的缺省值与diff函数相同；参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。,4、级数,x=sym(x);f1=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3);f2=(1+x+x2)/(1-x+x2);taylor(f1,x,5)taylor(f2,6,1),ans=1/6*x2+x3+119/72*x4ans=3-2*(x-1)2+2*(x-1)3-2*(x-1)5,5、符号方程求解,符号代数方程求解在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。,5、符号方程求解,x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x)f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1);x=solve(f)xy=solve(1/x3+1/y3=28,1/x+1/y=4,x,y)uv=solve(u3+v3-98,u+v-2,u,v),符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为：dsolve(e,c,v)该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程的通解。,5、符号方程求解,符号常微分方程求解：在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。,例求下列微分方程的解。,dsolve在求常微分方程组时的调用格式为：dsolve