大学数学高数微积分第三章线性方程组第七节课堂讲义

主要内容,两个一元多项式有非常数公因式的条件,*第七节二元高次方程组,二元高次方程组的一个一般解法,一、两个一元多项式,现在我们利用已经建立起来的线性方程组的理,论给出一个解二元高次方程组的一般方法.,为了这,个目的，我们先讨论一下两个一元多项式有非常数,的公因式的条件.,根据第一章的结果，可以证明：,有非常数公因式的条件,引理设,f(x)=a0 xn+a1xn-1+an,(1),g(x)=b0 xm+b1xm-1+bm,(2),是数域P上的两个非零的多项式,它们的系数a0,b0,不全为零.,于是f(x)与g(x)在Px中有非常数的,公因式的充分必要条件是，在Px中存在非零的次,数小于m的多项式u(x)与次数小于n的多项式v(x),使,u(x)f(x)=v(x)g(x).,证明,先证必要性,如果f(x)与g(x)有非常数的公因式d(x)，,f(x)=d(x)f1(x)，g(x)=d(x)g1(x)，,其中(f1(x)n，(g1(x)m，,u(x)=g1(x)，v(x)=f1(x)，,显然就有,u(x)f(x),=d(x)f1(x)g1(x),=v(x)g(x).,即,那么取,再证充分性.,为了确定起见，不妨设a00，也,就是说，f(x)是一n次多项式.,假定有u(x)，v(x),使,u(x)f(x)=v(x)g(x)，(3),其中(u(x)m，(v(x)0，于是它们的结式,R(f,g)=0的充分必要条件是f(x)与g(x)在Px,全为零.,证明,如果a0,b0全为零，或f(x),g(x)有一,个为零，则R(f,g)=0.,如f(x)与g(x)全不为零,且有非常数公因式，由引理有u(x),v(x)，(u(x),m,(v(x)n,使u(x)f(x)=v(x)g(x).,于是(6),有非零解，也得R(f,g)=0.,反之，设R(f,g)=0.,若f(x),g(x)中有一个,为零多项式，定理显然成立.,在f(x),g(x)都不为,零，且a0,b0不全为零时.,由R(f,g)=0，则(6),有非零解.,也即存在不全为零的,u(x)=u0 xm-1+u1xm-2+um-1,v(x)=v0 xn-1+v1xn-2+vn-1,和,使,u(x)f(x)=v(x)g(x).,因为f(x),g(x)全不为零，故必有u(x)，v(x)全不,为零.,所以(u(x)m,(v(x)n.,由引理，,f(x),g(x)有非常数公因式.,此外就是a0,b0全为零,的情况.,定理得证.,证毕,当P是复数域时，两个多项式有非常数公因式,与有公共根是一致的.,因此对复数域上多项式f(x),g(x),R(f,g)=0的充分必要条件为f(x),g(x)在,复数域中有公共根或它们的第一个系数全为零.,二、二元高次方程组,结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的,方法.,设f(x,y),g(x,y)是两个复系数的二元多,项式，我们来求方程组,在复数域中的全部解.,f(x,y)与g(x,y)可写成,的一个一般解法,其中ai(y),bj(y),i=0,1,n,j=0,1,m是y,的多项式.,把f(x,y),g(x,y)看作是x的多项式,令,这是一个y的复系数多项式.,由定理10即得下面定理：,定理11如果(x0,y0)是方程组(7)的一个复,数解，那么y0就是Rx(f,g)的一个根；,反过来，,如果y0是Rx(f,g)的一个复根，那么a0(y0)=0,b0(y0)=0，或者存在一个复数x0,使(x0,y0)是,方程组(7)的一个解.,由此可知，为了解方程组(7)，我们先求高次,方程Rx(f,g)=0的全部根，把Rx(f,g)=0的每,个根代入(7)，再求x的值.,这样，就得到(7)的,全部解.,例1解方程组,解,把方程组改写成,于是,单击这里求解,Ry(f,g)的4个根是,用,代入原方程组，得,这两个方程的公共根是,所以原方程组,的一个解是,用同样的方法求得其它解,分别为,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束