第三章：微分方程组

1,第一讲一阶（线性）微分方程组及其概念,本章内容提要:1.一阶线性微分方程组及其概念;2.一阶线性非齐次方程组的一般理论;3.常系数线性微分方程组的解法；,2,一.一阶微分方程组的引入：,例1:已知在空气运动的质点的速度与时间t点的坐标的关系为：且质点在时刻经过点求该点的运动轨迹.,3,例2：种群生态学中的几个模型：,（1）食饵-捕食者系统(prey-predatorsystem);,（2）竞争系统(competitivesystem);,（3）互惠系统(reciprocalsystem);,*（4）寄生物与寄主系统(host-parasitesystem);,注：自治系统与非自治系统：,（5）SIR仓室模型(host-parasitesystem);,4,二.n阶微分方程与一阶微分方程组的关系与互化：,5,三.一阶微分方程组的通解与通积分：,6,称为(1)的通解.,称为(1)的通积分.,上述方程组的含有n个任意常数的解：,7,四.一阶微分方程组的矩阵表示：,8,9,五.n维向量函数和n阶方阵的范数及其性质：,定义：,性质：,10,六.n维向量函数的收敛性、极限与连续性：,若对于a,b上的任意x有:则称Yn(x)在a,b上依范数收敛于Y(x).若上式对a,b上的x为一致的,则称Yn(x)在a,b上依范数一致收敛于Y(x).,若n维向量函数F(x)有:则称F(x)在x0连续.,11,七.一阶微分方程组的初值问题解的存在唯一性定理：,定理：若函数F(x,Y)在n+1维空间的区域上满足：1)连续;2)关于Y满足李普希兹条件,即存在N0,使对上任意两点有：,则存在使初值问题(4.9)的解在上存在且唯一.,12,13,八.一阶线性微分方程组：,一阶线性齐次微分方程组与一阶线性非齐次微分方程组,14,一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理：,15,16,作业：P122T（3）、（4）,17,第二讲一阶线性齐次方程组的一般理论,一.一阶线性齐次微分方程组的解空间：,（1）的解空间是线性空间。,18,二.n维向量函数组的线性相关性：,说明：向量函数组的线性相关性与它们的分量构成的向量函数组的线性相关性并不等价。,19,三.n维向量函数组的Wronsky行列式及其性质：,n个n维向量函数组：,构成的行列式：称为该向量组的Wronsky行列式,20,21,22,四.一阶线性齐次微分方程组的基解矩阵及其判定：,23,24,五.一阶线性齐次微分方程组解的结构：,25,26,27,作业：P133-134T2、T4、T5,28,第三讲一阶线性非齐次方程组的一般理论,一.一阶线性非齐次微分方程组解的结构：,29,30,二.一阶线性非齐次微分方程组的求解：,1.常数变易法的基本思想:,31,32,在实际应用中我们经常用下面纯量形式的方程组来确定待定函数C（x):,33,例1.求解方程组,解:(1)对应齐次方程组的基本解组.,2.常数变易法应用举例:,利用朗斯基行列式W(x)易验证向量函数：,是对应的齐次方程组的基本解组。,34,现求它形如：的特解.,从而可得已知方程组的通解是:,35,36,37,38,为研究(1)的解形式,先将(1)化简.由代数知识,存在非奇异线性变换：,第四讲常系数线性微分方程组的解法,只需求后者的一个基本解组.当为实常数矩阵时,称之为为常系数线性齐次方程组：,39,约当(Jordan)标准型与矩阵A的特征方程的特征根的情况有关:,称(*)为常系数齐次方程组(1)的特征方程式.,下面我们分两种情况进行讨论:,40,方程组(1)变为：,一、矩阵A的特征根都是单根的情形:,41,把这n个解代入(2)中,可得方程组(1)的n个解为：,42,43,易看出向量函数构成(1)的基本解组.(因它们的W(x)在x=0时为),44,定理1:若常系数线性齐次方程组(1)的系数矩阵A有n个不同的特征根，而为各根所对应的特征向量,则为(1)的一个基本解组.,于是这时我们有如下定理：,45,46,47,48,注：矩阵A的特征根都是单根的情形中的一种特殊情况特征根出现复根的情况:,定理2：若实系数线性齐次方程组有复值解,则其实部和虚部都是该齐次方程组的解.,49,证明:因是齐次方程组(2)的解,有:,50,从而其实部和虚部也是方程组(2)的解.,51,52,53,其次,我们再求所对应的