第6章-常微分方程 1

17:35,1,第六章常微分方程,积分问题,微分方程问题,推广,17:35,2,6.1微分方程的基本概念,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,17:35,3,一.两个例子,例6.1.1已知一曲线过点A(1,3),且该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x,求此曲线的方程。例6.1.2质量为m的物体从空中自由落下,若略去空气的阻力，求物体下落的距离s与时间t的函数关系ss(t)。,17:35,4,二.微分方程的几个概念,1.微分方程2.微分方程的阶3.微分方程的解4.微分方程的通解5.微分方程的特解6.初始条件,17:35,5,6.2一阶微分方程,一、可分离变量的微分方程,6.2.1可分离变量的微分方程,17:35,6,例6.2.1(细菌繁殖模型)在一个理想的环境中,细胞的繁殖率与细菌的数目成正比,若t0时细菌的数目为x0,求系统的细菌繁殖规律。,解：设x(t)表示在t时刻细菌数目,依题意有,17:35,7,例6.2.2(自然生长模型)yy(t)表示一种生物在时间t时种群总数,开始时种群总数y(0)y0,n,m分别表示该总群的出生率和死亡率,实践证明nmrky,其中r0,k0,试求该总群自然生长规律。,解：在t到t+t这段时间内种群总数改变量为,采用可分离变量后,积分得,17:35,8,由y(0)y0确定常数C,可得生物总群自然增长规律,此式称为Logistic方程,其曲线参考图为,17:35,9,例6.2.3(肿瘤生长模型)设V(t)是肿瘤体积。免疫系统非常脆弱时,V呈指数式增长,但V长大到一定程度后,因获取的营养不足使其增长受限制。描述V的一种数学模型是：,确定肿瘤生长规律。,17:35,10,此为贡柏茨方程,17:35,11,二、可化为分离变量的某些方程*,1.齐次方程形如,则称原方程为齐次微分方程。,17:35,12,例6.2.4解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C0时,y0也是方程的解),17:35,13,例6.2.5解微分方程,解:,代入原方程得,17:35,14,作变换,17:35,15,例6.2.6解微分方程,解:,17:35,16,6.2.2一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程定义3如果方程中未知函数的导数(微分)的最高阶数是一阶的,且所含未知函数及导数(微分)都是一次幂的,则称这种方程为一阶线性微分方程。,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程。,若Q(x)0,称为齐次方程;,17:35,17,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,仅表示P(x)的一个原函数,17:35,18,2.解非齐次方程,改写为,两边积分,下面求h(x),对(1)求导,得：,17:35,19,代入标准方程,17:35,20,例6.2.7用常数变异法求一阶线性方程通解,解：齐次方程通解：,用常数变异法,将C看作h(x)：,代入原方程得,17:35,21,例6.2.8用通解公式求一阶线性方程通解,解：,17:35,22,(饮食与体重模型)某人每天从食物中获取10500J热量,其中5040J用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗67.2J。此外,余下的热量均以脂肪的形式储存起来,每42000J可转化为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的,会达到平衡吗?,例6.2.9,解：设体重w是时间t的连续函数,依题意：,活动消耗67.2/420000.0016kg,基础代谢5040/420000.12kg,进食增加10500/420000.25kg,17:35,23,假定w(0)w0,代入上式：Cw081.25,当t时,w81.25,17:35,24,(药代动力学模型)假定药物以恒定速率K0向一个同质单元进行静脉滴注,K0的单位为单位时间的药量,并且药物在同质单元内按一级消除速率常数K的过程消除。K的单位为时间的倒数。试求此系统药物随时间变化规律。,例6.2.10,解：设静脉滴注t时刻的系统药量为x(t),依题意单位时间内药物变化率应该等于输入与输出之差,17:35,25,(细菌繁殖非理想环境模型)除系统本身的繁殖外有的细菌向系统外迁移,其迁移速率是时间t的线性函数,即AtB,系统内繁殖率与细菌的数目成正比,并假定t0时,测得的细菌的数目为x0,求系统的细菌繁殖规律。,例6.2.11,解：设x(t)为t时刻细菌数目,则,17:35,26,二、伯努利(Bernoulli)方程*,解法：两端同乘以yn,令zy1n,代入上式,得,17:35,27,例6.2.12求微分方程的通解,解：,17:35,28,6.3二阶微分方程,6.3.1几种可降阶的二阶微分方程,17:35,29,例6.3.1求微分方程的通解,解:两边积分得,17:35,30,例6.3.2求微分方程的通解,解：设yP,原方程化为,17:35,31,例6.3.3求微分方程的通解,解：,原方程化为,17:35,32,例6.3.4求微分方程的特解。,解：,原方程化为,由初始条件：C11,由初始条件：,17:35,33,6.3.2二阶线性常系数齐次方程,定义5如果方程中未知函数的导数(或微分)的最高阶数是二阶的，且所含未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次幂的，则称这种方程为二阶线性微分方程，一般形式为：A(x)yB(x)yC(x)yf(x)其中A(x),B(x),C(x)均为x的函数,A(x)0。若f(x)0,称为二阶线性齐次微分方程。若f(x)0,称为二阶线性非齐次微分方程。,17:35,34,对以下方程：aybycyf(x)其中a,b,c均为常数,a0。若f(x)0,称为二阶线性常系数齐次微分方程。若f(x)0,称为二阶线性常系数非齐次微分方程。,17:35,35,二阶线性常系数微分方程的性质,aybycyf(x)(1)aybycy0(2)定理1(叠加原理)若y1(x),y2(x)是(2)的两个解,则它们的线性组合yC1y1(x)C2y2(x)也是(2)的解。线性无关，线性相关定理2若y1(x),y2(x)是(2)的两个线性无关的特解,则：yC1y1(x)C2y2(x)是(2)的通解。定理3设y*是(1)的一个特解,y1是(2)的通解,则yy*y1是(1)的通解。,17:35,36,二阶线性常系数齐次微分方程的解法,aybycy0(2)因为r为常数时,函数erx和它的导数只相差一个因子,所以令(2)解为yerx(r为待定常数),代入(2)得：erx(ar2brc)0ar2brc0(3)称(3)为(2)的特征方程。,其根称为(2)的特征根。,17:35,37,1.b24ac0,有两个相异实根：r1r2,则微分方程有两个线性无关的特解,因此方程的通解为,17:35,38,2.b24ac0,特征方程有两个相等实根：r1r2,则微分方程有一个特解,代入方程,得：,17:35,39,3.b24ac0,特征方程有一对共轭复根：r1,2i,这时原方程有两个复数解,利用欧拉公式：eixcosxisinx有：,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解：,因此原方程的通解为,17:35,40,例6.3.5求通解：y4y3y0,解：,所求通解是,17:35,41,例6.3.6求通解y2y2y0,解：,所求通解是,17:35,42,例6.3.7求特解y6y9y0,y(0)0,y(0)1,解：,所求通解是,由初始条件：y(0)0,y(0)1,得：C10,C21,所求特解是,17:35,43,二阶线性常系数非齐次微分方程的解法*,通解为y(x)Y(x)y*,找出y*即可。某些方程，观察即可找到特解。y3y4y4，y*1yyyx1，y*x特解y*的形式：(1)f(x)Pn(x)ex,可设y*xkQn(x)ex。不是特征方程的根时取k0；是特征方程的单根时取k1；是特征方程的重根时取k2。,17:35,44,例1求微分方程y3y2ye2x的通解。,解：相应的齐次方程为：y3y2y0其特征方程为：r23r20特征根：r11,r22齐次方程的通解为：Yc1e2xc2exPn(x)1,2。取Qn(x)A,k1。有y*Axe2x是原方程的解，代入原方程，得到：A1。即：y*xe2x原方程的通解为：yc1e2xc2exxe2x,17:35,45,例2求微分方程y2y2yx的通解。,解：相应的齐次方程为：y2y2y0其特征方程为：r22r20特征根：r1,21i齐次方程的通解为：Yex(c1cosxc2sinx)Pn(x)x,0。取Qn(x)AxB,k0。有y*AxB是原方程的解,代入原方程,得到：2A2(AxB)x。即：2A1,2(AB)0,17:35,46,例3求微分方程y2yy(6x2)ex的通解。,解：相应的齐次方程为：y2yy0其特征方程为：r22r10特征根：r1,21齐次方程的通解为：Y(c1c2x)exPn(x)(6x2),1。取Qn(x)AxB,k2。有y*x2(AxB)ex是原方程的解，代入原方程，得到：6Ax2B6x2。即：A1,B1。y*(x3x2)ex原方程的通解为：y(c1c2x)ex(x3x2)ex,17:35,47,(2)f(x)exPn(x)cosxQm(x)sinx可设：y*xkexRl(x)cosxGl(x)sinx,lmaxn,m;i不是特征方程的根时取k0;i是特征方程的根时取k1。,17:35,48,例4求微分方程y2y2yexsinx的通解。,解：相应的齐次方程为：y2y2y0其特征方程为：r22r20特征根：r1,21i齐次方程的通解为：Yex(c1cosxc2sinx)Pn(x)0,Qm(x)1,1,1。取l0,Rl(x)A,Gl(x)B,k1,得：y*xex(AcosxBsinx),代入原方程。ex(2Acosx2Bsinx)exsinx2Acosx2Bsinxsinx,17:35,49,例5求方程y9y(24x6)cos3x2sin3x的通解。,解：相应的齐次方程为：y9y0其特征方程为：r290特征根：r1,23i齐次方程的通解为：Yc1cos3xc2sin3xPn(x)24x6,Qm(x)2,0,3。取l1,Rl(x)AxB,Gl(x)CxD,k1,得：y*x(AxB)cos3x(CxD)sin3x,代入原方程。,17:35,50,(12Cx6D2A)cos3x(12Ax6B2C)sin3x(24x6)cos3x2sin3x,y*xcos3x(2x2x)sin3x