高等数学5常微分方程

高等数学-谢琳主讲,第四章常微分方程初步,微分方程理论，在整个高等数学体系中可以算是最核心内容之一。很多近、现代数学数学理论分支的产生，几乎都是围绕着微分方程派生出来的。,从现实应用的角度讲，微分方程也是在建立数学模型时被运用得最多的。不仅仅是力学（最早运用微分方程的领域）、物理学、化学这些基础学科，也包括生物学、经济学、金融理论，甚至社会学等领域，在构建其过程变化的模型时，也都会遇到微分方程问题。,道理很简单，因为导数反映变化率，所以如果变化率和其他变量相关，就可能遇到微分方程。,第四章常微分方程初步,1基本概念；,2初等积分法；,3一阶方程建模（阅读材料-略）；,4高阶线性微分方程；,5线性微分方程组,微分方程的基本概念,1基本概念,2作为数学模型的微分方程,1与微分方程相关的基本概念,（1）微分方程：包含自变量、未知函数及其导数（或微分）的等式称为微分方程。如果方程中的未知函数是一元函数。则称方程为常微分方程。例如：,（i）；,且。,（ii）；,且有。,（iii）,其中，出现未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。,（2）线性与非线性微分方程：假设微分方程中的未知函数及其各阶导函数都是作为一次式出现的，方程就称为线性的；否则就是非线性的。,一般线性方程的形式为：。,下面是两个非线性方程的例子：,；,。,（3）关于微分方程的解：方程的解；通解、积分曲线族；特解、积分曲线；定解条件（个数）；初始条件与初值问题。下面通过一个例子说明这些概念。,例考虑一个简单方程：,，其中是常数。,【例4-1】（曲线的方程问题）设一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为2x，求此曲线方程,【例4-2】（放射性元素的衰变问题）放射性元素铀，由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫衰变由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比如果时刻t=0时铀的含量为M0，试求在衰变过程中铀在任一时刻t的含量M(t)【前述方程（ii）】,【见前述方程（i）】,【例4-3】（弹簧振动问题）设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体，弹簧伸长l后就会处于静止状态，这个位置就是物体的平衡位置如果用力将物体向下拉至某一位置，然后突然放开，那么物体就会在平衡位置附近作上下振动，试确定物体的运动规律,a)简谐振动（无阻尼自由振动）,b)有阻尼自由振动，设阻力与速度成正比，为,，则有方程,将其“首一化”，即得：,。,c)有阻尼强迫振动，设有铅直干扰力,，,其中。,2关于数学模型,（1）在构建数学模型的时候，首先要搞清楚所要探讨的对象是什么？建立模型的目的是什么？,（2）在（1）明确的情况下，确定构建模型的系统因素，即选择与目的和对象有关的变量。,当然，选择模型所涉及的变量，有一定的主观性。考虑的变量太多，会使模型过于复杂，太少也可能使模型严重失真。这往往需要权衡,（3）作出假设。没有假设，就没有数学的应用。当然，要尽可能使假设合理。但假设是否合理，往往是一个经验和实践的问题，不仅是思辨的。,这是一比较个主观的模型。尽管说是比较准确反映了美国70年左右的人口增长。但是那时候的美国却是大量移民的时代。奇怪的是，在提及这个模型的时候，多数文献似乎不太愿意提及这一点。,（4）关于马尔萨斯的人口模型。,一个可以做调整的相对静态模型是：,说它是相对静态，因为这个模型假设人口增长仅仅与“瞬时人口”相关，而与其它社会与自然因素无关。不过这个模型常用来描述动物数量增长。,（5）关于牛顿热力学定律：,其含义无非是说，温度变化速率与温差成正比。,微分方程的初等积分法,1.一阶可分离变量方程,2.一阶线性微分方程,3.利用变量代换化简方程,绝大多数的微分方程，是无法用解析法（代数和积分方法）求解的。当然，总有一些微分方程可以解出其未知函数。余下的各节中，主要介绍可以用解析方法解出来的某些类型的常微分方程。更为深入的方程理论，不在本教程的要求范围。,1.一阶可分离变量的微分方程,此类方程，可以直接分离变量，实际相当于两个一阶微分形式的等式。从解法上讲，属最简单的。,解这类方程就是直接积分。如果涉及的函数可积，也就解出了方程。解决初值问题，但是此类方程得到的往往是隐式通解。,【例4-4】求方程的通解,【例4-5】求解初值问题,注：事实上，由解析法解微分方程，基本途径总是要把微分方程变换成可以做积分的形式。而“可分离变量”，便是此类形式中最重要、最基本的形式。,下面一系列微分方程的解法，基本上是用变量代换将方程转化为可分离变量的形式。,易解得：,易解得：,2.一阶线性微分方程,从方程分类角度讲，类似在代数学中的一元线性方程，一阶线性微分方程应该是最简单的微分方程了。不过从方程的形式上看，一阶微分方程有两个相互关联的未知元（未知函数及其导函数）。,尽管一阶线性微分方程最简单，可是掌握这类方程的解法和解的结构形式，却是进一步探讨其它复杂方程的重要基础。,类似于考察代数方程解的结构，对于微分方程也是首先考虑对应的齐次方程，它是可分离变量方程，易解。,假设解出对应齐次方程之后，考虑一阶线性微分方程解的结构应该具有什么形式。,（1）非齐次（代数）线性方程的通解是由其一个特解加上对应齐次方程的通解得到的。由于求导算子也是线性算子，可知关于线性微分方程解的结构，这个结论也应该成立。,（2）一阶线性微分方程的标准形式为：,或者简写为：。,其对应的齐次方程为,或。,为可分离变量的方程，计算（或看出）其通解为：,（3）考察其特解的形式。如果熟悉导数公式的话，在观察方程的时候，可以想到：,如果令，,那么只要,也就是,即可满足方程。,于是我们得到一个特解为：,（4）方程的通解为：,（5）关于常数变易法（一种变量代换法）。,时，并不能产生非齐次项。于是我们将其变换为待定的函数u(x)，并由此将原方程变换为可分离变量的方程。这便是所谓的常数变易法。,【例4-6】求方程的通解,（6）例题,【例4-7】求一曲线方程，这条曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y,3.变量代换化简方程,前面已经看到，一阶线性微分方程的解法，在本质上也是利用变换，转化为“可分离变量”的形式。,由于一阶线性微分方程已经被解决了，所以将任何其它类型的方程，特别是某些在形式上是高阶微分方程的类型，转化成一阶线性微分的形式，也属于成功转化为“可分离变量”的形式了。,下面主要有两大类内容：,变量代换的目的就是把方程变换为“可分离变量”的类型。,（1）能变换为“可直接分离变量”的一类方程；,（2）可变换为“一阶线性”类型的方程。,（1）能够变换为“可直接分离变量”的一类方程：,或者其最简形式：,（2）。,分如下三种情况讨论：,；（iii）,；,（1），,（ii）,（i）,，,（i）当,时，方程为：,类型的方程称为齐次（式）方程。,此时只需做变换：,，即,，得,于是方程变换为“变量分离型”：,解此方程并代回,即可。,注：这里关于齐次方程的变换，不仅仅限于方程（1）的类型了。只要是类型的齐次方程均可。,。此,则方程（1）变换为齐次方程形式：,注：请注意这里线性变换与平移变换的意义。随着数学学习的深入，线性代数的内容和思想方法将不断的出现。,。,则方程（1）变换为：,。变换：,。,说明：教材中的228页注（i）中所述情况，其实已经包含在这个范围之内了。无须特别讨论。,其中的,。,【例4-8】求解方程,【例4-9】求方程的通解,令,，则,（2)可变换为“一阶线性”的微分方程类型,所谓一阶线性方程，有两个特点：一是线性；二是一阶。一般情况下，非线性的高阶方程是不会变换成这样的简单情况的。但也有某些特殊情况，经过适当的变换，可以归结为一阶线性方程。,（i）某些可转化为线性方程的非线性一阶方程。,（a）在常微分方程中，涉及到的主变量是两个，比如说x和y。此时，对于一阶方程而言，即可以将y看做x的函数，也可以将x看做y的函数。这时，只要方程对于某个变量是线性的，该方程就可以作为一阶线性方程求解了。下面便是一例：,【例4-10】求方程的通解,这里有y的高次项，对y来说，不是一个线性程，但是将x作为未知函数，方程便是线性方程了，即：,。解之可得：,（b）伯努利方程：,令,代入，方程变换为：,。,。,（ii）某些可降阶的方程类型,（a）,此类方程，只需要逐次积分便可以了。,（b）方程中不显含因变量y的情况。,【例4-12】解方程,注：目前情况下，我们一般也只能解决二阶此类方程。,【例4-13】求解初值问题,（c）不显含自变量x的方程：,做变换：,，则方程可以降一阶。但是往往,也不再是线性方程了。因为此时有,，以及,等等。,所以这些变换方法，对我们现在所学的内容而言，主要是理论上的意义。计算时只能处理二阶情况。,【例4-14】求解方程,（d）导数=0的形式，首次积分法。,若方程具有,的形式。则方程实际是,这已经是n-1阶的方程了。,小结：本节的核心内容是分离变量法和一阶线性方程。其它几个变换，也都是为了将某些特殊类型的方程线性化、低阶化，最终还是要分离变量，做积分。,解决微分方程，说到底还是要积分。,高阶线性微分方程,1.通解的结构；,2.高阶常系数齐次线性方程；,3.高阶常系数线性非齐次方程；,4.某些变系数线性方程。,1.高阶线性微分方程解的结构,本节给出了六个定理，其中关于解的结构定理，教材中仅仅涉及到二阶线性微分方程。事实上完全可以直接给出一般的n阶情况。,这六个定理，只有两个定理不是平凡的，即：,（1）解的存在及唯一性定理；,（2）齐次方程解的结构定理。,其中，解的存在及唯一性定理是最重要的基础，也是这里面最不平凡的定理。在这个定理的基础上，可以相对比较容易的得到齐次线性微分方程解的结构定理。其它定理，极容易想到，也容易验证。,（1）线性微分方程与线性映射,一般的（n阶）线性微分方程为如下形式：,（1）,该方程对应的齐次方程为：,（2）,如果引入算子符号,。即有：,则可以将,看做一个映射。,为了便于说明，在这里引进几个记号：,；,。,易知，与都是线性空间（向量空间）。而L，显然是从到的一个线性映射，即有：,其中的和都是常数。,（3）,而求解齐次线性微分方程（2），也就是求得所有,映射L的核，即要完整表示下面的集合：,由以上讨论，立刻可以得到如下几个结论：,注意，满足（4）式的一个确定的函数（既满足一定的定解条件），称为方程（1）的一个特解。,叠加原理1（教材中的定理4-2）设,是齐次方程（2）的一组解，则其线性组合,也是方程（2）的解。,。,叠加原理2（教材定理4-6）设,=,推论（教材定理4-3的另一种表述）,分析：由以上结论可以看出，如果我们可以求得方,的一个特解（其中都是实数）。,程（1）的一个特解，并且得到方程（2）通解的某种表示形式，则方程（1）的通解便可以表示为这个特解与（2）的通解之和。,这便是非齐次方程（1）的,通解结构定理的内容（教材定理4-5）.,因此，只要能够搞清对应于方程（1）的齐次方程通解的结构，非齐次方程（1）的通解结构问题也就解决了。下面便专门讨论齐次方程（2）通解的结构问题。,（2）关于齐次线性微分方程的解空间（解集）,我们知道线性代数中的一个基本定理：任何n维向量空间中的任意n个线性无关向量，构成该空间的一组基，即空间中任何向量都可以表示为这组向量的线性组合，且表法唯一（注：但基的组成并非唯一的）。,齐次线性微分方程通解的结构定理（教材定理4-4）,设,是齐次方程（2）的一组特解，且,它们线性无关，则方程（2）的通解表示形式为：,（5）,其中,表示任意常数项。,注：与求积分作类比，所谓方程的通解，就相当于不定积分；而所谓特解，就相当于一个原函数。,由前面的讨论我们已经知道，,与,都是线性空间（向量空间）。而,则是由,到,的线性映射。因此,，,即方程（2）的解集，也是一个线性空间（的一个子空间）。,证明,是一个n维向量,空间的关键是如下一个重要的定理。,（该定理的证明不作要求，故略去。）,基本定理（线性微分方程解的存在及唯一性定理）,（注：这是对教材中定理4-1稍作修改的一个陈述）,设,与,都是在闭区间,上连续的函数。,是,中任意一点，则,对任意一个n元有序数组,存在唯一的函数,是方程（1）满足初始,条件,的解（特解）。,，,如果引入一个映射符号：对任意,，,那么前述基本定理表明，这个映射,是从方程（1）,的解集到,的一个双射。这意味方程（1）的解集,相当于一个n维的超平面。但是它不见得构成一个向量空间，除非方程是齐次的，即。,而当,时，上述定理表明，齐次方程（2）的解,集是与同构的线性空间，因此也是n维的。,至此，前述所有结论都已经得到了证明（基本定理除外）。（简单总结，此略）,（3）几个技术性细节的说明,（i）关于函数的线性相关与线性无关。,（ii）关于特解与通解的验证和表示。,2.高阶常系数齐次微分方程的解法,不夸张的说，微分（积分）方程（甚至代数方程）是数学永远的问题。因为总有解不完的方程，主要是没有一劳永逸的解决方法。,尽管从理论上讲，线性微分方程解的结构关系已经很清楚了，但是却没有具体的解法。,不过，如果齐次线性方程的各项系数都是常数，在理论上讲，其解法算是彻底给出了。有趣的是，解这类微分方程的问题，被归结为解代数方程,然而，在归结为代数方程之前，首先是猜测！,这个猜测的思想基础是什么？深刻的直观总是建立在深厚的积累和深入思考的基础上的。,（1）欧拉待定指数函数法,设有系数都是常数的线性齐次方程：,（1）,显然，对于一阶的情况，很容易看出来，一个指数函数可以是它的解。那么如果将一个指数形式的函数，比如说将,代入到方程中，会得到什么结果呢？立刻得到一个如下的方程：,而这个方程等价于：,（2）,不难看出，如果得到代数方程（2）的一个根，也就得到微分方程（1）的一个根。于是方程（2）被称为齐次线性微分方程（1）的特征方程。其根被称为特征根。,由于n次代数方程有n个根，根据齐次方程解的结构定理，不难看出，这个转化，提供了清晰的途径，可以完整的解出微分方程（1）的通解。,注意：如果没有前面的关于通解的结构定理，还不敢保证这样就可以获得方程所有的解。,一般的，通过计算和讨论。可以得到如下结果：,（注意到每个特征根对应方程的一个解）,表1n阶常系数齐次微分方程通解的组成函数,特征根情况单实根k重实根单重共轭复根K重共轭复根,方程通解中对应的解项,对于二阶方程，其特征方程的共轭复根只能是单重的。下面分别讨论这些对应是怎样得到的。,根据前面的表，容易看出来二阶方程通解的情况：,（i）两个相异实根,（ii）,（iii）,通解,；,二重根,通解为,共轭复根,通解为,注：（i）是显然的，教材对（ii）的讨论很详细。关于（iii），其通解形式的出处可以考虑欧拉公式。,；,【例4-24】求方程的通解.,【例4-26】求方程的通解.,【例4-27】求方程的通解.,【例4-28】求初始问题的解.,3.高阶常系数非齐次微分方程的解法,由可以理解的原因，这里仅仅考虑二阶方程。显然对于常系数非齐次线性方程，主要的是找出其一个特解。,一般而言，我们考虑的非齐次方程中的非齐次项，是初等函数，而最常见的是多项式、指数函数、三角函数以及它们的组合形式。,解方程的基本方法是待定系数法。也是纯代数方法。,下面主要介绍三种情况，分别是方程的非齐次项,为：,（i）指数函数与多项式的乘积；,（ii）指数函数与三角函数的乘积；,（iii）上述两类函数之和的情况。,（i）,由于指数函数与多项式的乘积的各阶导数依然还是指数函数与多项式的乘积。因此为求得（1）的一个特解，可以合理的设该解也具有这样的形式。即设,（1）,（1*）,将（1*）代入方程（1）可得如下等式：,（1*）,下面分三种情况考虑：,（其中是作为特征根的重数）。,【例4-29】求方程的一个特解.,【例4-30】求方程的通解.,【例4-31】求解微分方程,注2（求解方程（1）基本步骤）先给出特征方程，然后：,检查是特征方程的几重根，据此写出方程待定特解的基本形式；,最后给出原方的通解形式。,将待定的特解代入方程，确定相关系数；如需要，根据特征方程给出对应齐次方程的通解；,（ii）,第二种形式非齐次项（指、三、多组合）,（2）,由于导出过程需要一些复变函数的知识，略去。,【例4-32】方程具有什么形式的特解？,【例4-33】求微分方程的一个特解.,【例4-34】求微分方程的通解.,（iii）非齐次项是上述两种类型之和。,此类方程，可利用叠加原理（即微分算子的线性性质）,分别求得特解。然后相加即可。下面以例子说明。,齐次方程的通解，相加即得原方程的通解。,4某些变系数线性微分方程的解法,此类方程只有很特殊的情况有某种解法。,（1）欧拉方程,变换使方程转化为一个常系数线性方程。,令,常系数线性方程。解之，并带回原来变量即可。,【例4-36】求解方程,【例4-37】求解方程,（ii）通过已知解可以降阶的方程-降阶法,类似于解代数方程，如果知道代数方程的一个解，,则可以约掉一个一次因式，使得方程的次数降低一次。对于解高阶齐次微分方程来说，也有类似的方法。不过其降阶的过程要稍稍复杂一点。仅以二阶齐次方程为例作介绍。,设二阶齐次方程为：,（3）,即,，这在本质上已经是一个一,阶齐次线性微分方程了，并且可分离变量。,线性微分方程组,1线性微分方程组通解的结构,常系数齐次线性微分方程组的解法,3常系数非齐次微分方程组的解法,1线性微分方程组解的结构,在前面讨论高阶线性微分方程时我们已经知道，只有搞清楚了微分方程组解的结构，才能够有目标的寻找所要求得的解。,后面“解的存在及唯一性定理”，和前面一样，应该是线性微分方程组理论的一个基本定理，它对于搞清楚解的结构具有关键性的意义。,这里约定相关的表示符号，一个线性微分方程组用,常见的向量符号，可以表示为如下形式：,（1）,对应的齐次方程组便是：,（2）,；,；,；,。,其中,也可以表示常数矩阵。,注：,这里假设关于向量和矩阵的导数、积分符号（包括矩阵乘积的求导公式）的意义和形式是已知的。,定理（4-7）设方程（）中所涉及的向量和矩阵函数在闭区间，上连续，是，中任意一点。则对任意元有序数组（向量），存在唯一的向量函数是方程（）的解，并满足初始条件。,类似于高阶方程解的结构定理，可知方程组（1）,的解集同构于一个n维超平面。如果方程是齐次的，,则方程的解集便同构于n维线性空间（即定理4-8）。而方程（1）的通解可以表示为一个特解与其对应,（i）基本结论,次方程组的通解之和（定理4-9）。,（ii）几个派生概念和线性无关解的判定条件,朗斯基（Wronski）行列式（也是一个函数）；,解矩阵；基本解组与基解矩阵（基本解组的矩阵）。,一个判定条件：齐次方程组的一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是该矩阵的行列式（朗斯基行列式）在某点处不为0.,注：对此条件不做深入讨论。,于是，方程组（1）的通解表示形式为,2.常系数齐次线性方程组的解法,还是只有常系数线性方程组有具体的解法，特别是,齐次线性方程组，可以基本上归结为代数解法。深入的讨论需要较多一些的线性代数知识（矩阵相似分类理论）。这里仅仅给出基本思路和解题步骤，不做详细讨论。,（i）欧拉待定指数法-猜测与倒推,猜测（其实也是在熟悉的情况下的直观推测）常系数齐次线性方程组的解具有如下形式：,即,则有如下矩阵方程：,，,（3）。,之所以说解常系数齐次线性方程组（2）大体上可以归结为求解特征值与特征向量，是因为这里分两种情况：,（4）,的根。由于n次方程总有n个根，所以特征值也可以认为有n个。但是由于有重根，所以所谓n个特征值，,严格说起来就是n个特征根，不同的值却不见得有n个。方程（4）也称为矩阵的特征方程。,因为对应的朗斯基行列式在0点处为,可得结论（定理4-10）。此时求解便都是代数运算了。,注2：由于特征根可能是复数，于是所得的解也是复数形式。但是由于系数都是实数，所以复数解必然是共轭的出现的。于是可以经过简单的组合将复数解换为线性等价的实数解。,其中是矩阵的特征值，是对应于的特征向量。,【例4-40】求解初值问题,（a）特征值是互不相等的实数，有n个无关特征向量。,（b）特征值互不相同，但是有复数的情况。,【例4-41】求解方程组,（c）特征根有重根，即有重特征值，但对应这个特征值的