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第一节微分方程的基本概念1.微分方程的定义含有自变量,未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方程如:,第十二章微分方程,而不是微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程,微分方程的一般形式为2.方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做这微分方程的阶数是二阶的,4.微分方程的一个解所对应的曲线叫做这个方程的一条积分曲线如的图形就是的一条积分曲线,5.n阶微分方程的解中有n个任意常数,如果方程的解中所含常数的个数与方程的阶相等，则称这个解为微分方程的通解,6.根据已知条件可定出通解中的任意常数,这样得到的解叫特解,第二节可分离变量的微分方程,其一般形式,又如其方程可分解成为,称为变量可分离的微分方程,(2)是(1)的通解,例3:一曲线通过点(2,3).他在两坐标轴间的任意切线段均被切点平分，求这曲线。,例4某池塘养鱼,该池塘最多能养鱼1000条.鱼数y是时间t的函数y=y(t),且变化速度与鱼数y及1000-y的乘积成正比,先已知在池塘内放养鱼100条,3个月后有250条,求放养鱼数与时间t的关系y(t),放养6个月后有多少鱼?,解根据题意,例5:质量为1克的质点受力作用做直线运动,这力和时间成正比,而和原点运动的速度成反比.在t=10秒时,速度等于50厘米/秒,力为4达因,问从运动开始过一分钟后速度是多少?,例2：探照灯的聚光镜是一个旋转曲面即可以看作是由曲线y=y(x)绕x轴旋转而成的，求这条曲线(称为旋转曲面的母线)的方程解：探照灯聚光镜面的作用是把聚光镜面旋转轴上一个点光源发出的光线都反射为旋转轴平行的光线,今取旋转轴为X轴点光源所在的位置为坐标原点,设点0发出的某条光线经过曲线y=y(x)上的一点M(x,y)反射后是一条平行与X轴的直线Ms又经过M点的切线AT的倾角为a,这是一个顶点在(-c/2,0)焦点在原点的抛物线,当聚光镜的底面直径为d,从顶点到底面的距离为h,二.可化为齐次的方程,叫做对应于(1)的一阶齐次线性微分方程,第四节一阶线性微分方程,一.线性方程,叫做一阶线性微分方程,分离变量后,将C换为X的函数v(x),利用常数变易法来求非齐次线性方程(1)的通解,二.
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