点集拓扑第五章

点集拓扑学,第五章可数公理,本章教学基本要求,5.1第一与第二可数性公理,5.2可分空间,5.3Lindeloff空间,例题练习,本章教学基本要求,掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系；掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性等问题；掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质；掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间,哪些是第二可数性公理空间重点：第一与第二可数性公理;连续映射的不变性难点：有限可积性。,5.1第一与第二可数性公理,一.可数公理的概念定义5.1.1拓扑空间如果每一点处有一个可数邻域基，则称是满足第一可数性公理的空间或简称为空间.定义5.1.2拓扑空间如果有一个可数基，则称是满足第二可数性公理的空间，或简称空间。,二.可数公理的相关定理,定理5.1.1实数空间满足第二可数性公理证明令为所有以有理数为它的两个端点的开区间构成的族显然是一个可数族设是中的一个开集，对于每一个，存在实数,使得以为中心以为半径的球型邻域:选取有理数,使得：于是有,这也就是说可以表示为中某些成员之并.这证明了是的一个基定理5.1.2每一个度量空间都满足第一可数性公理证明设是一个度量空间，,则:所有以为中心以有理数为半径的球形邻域构成处的一个可数邻域基,定理5.1.3每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理证明设是一个满足第二可数性公理的空间，是它的一个可数基对于每一个，是点处的一个邻域基，它是的一个子族所以是可数族于是在点处有可数邻域基定理的逆命题不成立因为任何一个离散空间显然满足第一可数性公理，而前面已经说过包含着不可数多个点的离散空间不满足第二可数性公理,定理5.1.4设和是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射如果满足第二可数性公理（第一可数性公理），则也满足第二可数性公理（第一可数性公理）证明设满足第二可数性公理，是它的可数基,由于是一个开映射，是由中开集构成的一个可数族只需证明是的一个基设是中的一个开集,则是中的一个开集,因此存在,由于是一个满射，我们有即是中某些元素的并,这完成是基的证明.定理5.1.5满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间证明设是一个满足第二可数性公理的空间，是它的一个可数基如果是的一个子集，根据定理,集族是子空间的一个基.,定理5.1.6设,是个满足第二可数性公理（第一可数性公理）的空间则积空间满足第二可数性公理（第一可数性公理)证明:设,都是满足第二可数性公理的空间,分别是它们的可数基根据定理是积空间的一个基它明显是一个可数族定理5.1.7维欧氏空间的每一个子空间都满足第二可数性公理,定理5.1.8设是一个拓扑空间如果在处有一个可数邻域基，则在点处有一个可数邻域基使得对于任何,有:证明设是点可数邻域基,对于每一个,令可见便是点处的满足要求的可数邻域基推论设是一个拓扑空间如果在处有一个可数邻域基，则在点处有一个可数邻域基使得当,有:,定理5.1.9设是一个满足第一可数性公理的空间，,则点是集合的一个凝聚点的充分必要条件是在集合中有一个序列收敛于.证明必要性设是集合的一个凝聚点，设是点处的一个可数邻域基套，满足条件：对于每一个有由于,可选取序列显然在中,我们证明如下:,如果是的一个邻域，则由于是处的一个邻域基套，所以存在,使得,所以,，定理5.1.10设和是两个拓扑空间，其中满足第一可数性公理；则映射在点处连续的充分必要条件是：如果中的序列收敛于，则中的序列收敛于如果映射在中的每一个点都连续,则称是一个连续映射,5.2可分空间,定义5.2.1设是一个拓扑空间,若满足,则称是的稠密子集.定理5.2.1设是一个拓扑空间，是中的一个稠密子集又设,都是连续映射。如果,则证明设，如果，则存在使得令：，则令,则根据映射和的连续性可知，都是的邻域，从而也是的一个邻域由于子集是稠密的，所以对于任意一个,我们有，得出:矛盾.,定义5.2.2设是一个拓扑空间如果中有一个可数稠密子集，则称是一个可分空间定理5.2.2每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间证明设是一个满足第二可数性公理的空间，是它的一个可数基在中的每一个非空元素中任意取定一个点,令这是一个可数集由于中的每一个非空开集都能够表示为中若干个元素因此这个非空开集一定与有非空的交，所以可数集是的一个稠密子集,包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的,这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间推论5.2.1满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间定理5.2.3每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理推论5.2.2可分度量空间的每一个子空间都是可分空间,定理推论回顾,定理5.1.1实数空间满足第二可数性公理定理5.1.2每一个度量空间都满足第一可数性公理定理5.1.3每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理定理5.1.4设和是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射如果满足第二可数性公理（第一可数性公理），则也满足第二可数性公理（第一可数性公理）,定理5.1.5满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间定理5.1.6设，是个满足第二可数性公理（第一可数性公理）的空间则积空间满足第二可数性公理（第一可数性公理)定理5.1.7维欧氏空间的每一个子空间都满足第二可数性公理,定理5.1.8设是一个拓扑空间如果在处有一个可数邻域基，则在点处有一个可数邻域基使得对于任何,有：推论设是一个拓扑空间如果在处有一个可数邻域基，则在点处有一个可数邻域基使得当,有:定理5.1.9设是一个满足第一可数性公理的空间，,则点是集合的一个凝聚点的充分必要条件是在集合中有一个序列收敛于,定理5.1.10设和是两个拓扑空间，其中满足第一可数性公理；则映射在点处连续的充分必要条件是：如果中的序列收敛于，则中的序列收敛于定理5.2.1设是一个拓扑空间，是中的一个稠密子集又设都是连续映射如果,则,定理5.2.2每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间定理5.2.3每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理推论5.2.1满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间推论5.2.2可分度量空间的每一个子空间都是可分空间,5.3Lindeloff空间,定义5.3.1设是一个集族，是一个集合如果,则称是的一个覆盖.并且当是可数族或有限族时，分别称集族是集合的一个可数覆盖或有限覆盖设集族是集合的一个覆盖如果集族的一个子族也是集合的覆盖，则称集族是覆盖（关于集合）的一个子覆盖,定义5.3.2设是一个拓扑空间如果的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间是一个Lindeloff空间定理5.3.lLindeloff定理任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间证明设拓扑空间满足第二可数性公理，是它的一个可数基设是的一个开覆盖,对于每一个,由于是一个开集，所以存在使得,令,也可数.,并且有:即:是的一个覆盖如果,则存在使得,因此,于是对于每一个我们可以选定某一个,记,则是的子族并且所以,是的一个子覆盖,且可数.即:是一个Lindefoff空间,定理5.3.2满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间定理5.3.3每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理定理5.3.4Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间定理5.3.5设拓扑空间的任何一个子空间都是Lindeloff空间如果,是一个不可数集，则中必定包含的某一个凝聚点，即,定理5.3.4的证明Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间证明设是Lindeloff空间的一个闭子空间，是子空间Y的一个开覆盖则对于每一个,存在中的一个开集,使得:,于是是的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为则便是的一个（关于子空间的）可数子覆盖由此是Lindeloff空间,1.设，是两个拓扑空间，是连续映射，证明：如果是一个可分空间，则也是一个可分空间.2.设，是个可分空间.证明积空间是一个可分空间.3.设，是两个拓扑空间，是一个连续映射，证明若是Lindeloff空间，则也是一个Lindeloff空间.,例题练习,证明：设连续，是可分空间，则存在,可数，因此,可数,且而作为的子空间，在子空间中的闭包为：因此是的可分子空间.,1.设，是两个拓扑空间，是连续映射，证明：如果是一个可分空间，则也是一个可分空间.,证明：以为例证明之.设,可数