数学分析第十章

10.1平面图形的面积,本节介绍用定积分计算平面图形在,一、直角坐标方程表示的平面图形的,二、参数方程表示的平面图形的面积,三、极坐标表示的平面图形的面积,面积,各种表示形式下的面积.,返回,通过上移,由定积分的几何意义，可知A的面积为,例1,解,于是,于是,例2,解,则,显然,由于g1(y),g2(y)不是分段定义的函数,比较,容易计算.,二、参数方程表示的平面图形的面积,积为,因此,不论x(t)递增或递减,若上述曲线C是封闭的，即,则由C所围的平面图形A的面积同样是,解,所围图形的面积.,三、极坐标表示的平面图形的面积,由曲线C,设曲线C的极坐标方程为,从而,由于,设,因此,例4,解,例5,由图形的对称性,解,解,例6,注也可利用对称性.,2由平行截面面积求体积,为三维空间中一立体,它夹在垂直于x轴的两平,轴的平面,截得的截面面积为A(x).,返回,证,若A(x)在,于是,因此,例1求由两个圆柱面,围立体的体积.,解,以下讨论旋转体的体积.,例2,旋转一周所得环状立体的体积.,解,从而,例3,解,复习思考题,3平面曲线的弧长与曲率,本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计,算公式.,一、平面曲线的弧长,返回,定义2设平面曲线C由参数方程,曲线,则C是可求长的,且弧长为,若C为一光滑,于是,证,因此,由第一章1习题6可知,于是,即,从而,因此当f在a,b上连续可微时,示,则C又可看作,注1若曲线C由直角坐标方程,表示,则C亦可看作,注2若曲线C由极坐标方程,由于,解,例1,例2,解,解,段弧长.,例3,在光滑曲线上,弧段与的长度相差不,*二、平面曲线的曲率,曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示,多而弯曲程度却很不一样.,转过的角度要大得多,比动点从Q移到R时切线.,到Q时,切线转过的角度,这反映动点沿曲线从P移,设表示曲线在点处切线的倾角,表示动点由P沿曲线移至,时切线倾角的增量.若,为弧段的平均曲率.如果存在有限极限,则称此极限K为曲线C在点P的曲率.,由于曲线光滑,故总有,可得,即,若曲线由表示,则,例1求椭圆上曲率,解由于,最大和最小的点.,因此椭圆在各点的曲率为,当时,在处曲率最大,在,由例1可得,若则各点处曲率相等,为,处曲率最小,显然,直线上各点处的曲率为0.,设曲线上一点P处曲率若过P作一个半径为,的圆,使它在点P处与曲线有相同的切线,并在P近旁与曲线位于切线的同侧(见图).,在P处的曲率圆.曲率圆,率圆的圆心称为曲率中心.,的半径称为曲率半径,曲,我们把这个圆称为曲线,火车轨道从直道进入半径为R的,(使火车的向心加速度,以保证火车行驶安全,道(用虚线表示),使得曲率由零连续地变到,圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨,例2如图所示,对此曲线用曲率公式求得:,缓冲曲线常采用三次,曲线,的曲率从0渐渐增加到接近于从而起到缓冲,因此曲线段,作用.,9.1定积分的概念,在很多数学和物理问题中，经常需要,求一类特殊和式的极限:,这类特殊极限问题导出了定积分的概念.,返回,三个典型问题,S(A),其中,2.已知质点运动的速度为求从时刻,3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为,求线状物体的质量m.,显然,这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下，,a到时刻b,质点运动的路程s.,可以用简单的乘法进行计算.而现在遇到的问题,以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题,中心思想：,是“非常值”、“不均匀”、“有变化”的情形，如何,来解决这些问题呢？,合理地归为一类特殊和式的极限.,把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每,个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替,代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的,一分为二,时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面,积.,一分为四,一分为八,一分为n,可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形,的面积.,过程呢？这可以分三步进行.,1.分割：把曲边梯形A分成n个小曲边梯形,如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的,2.近似:,3.逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是,S总有差别.当分割越来越细时，和式,问题是：,越细？,就会越来越小.,下面依次讨论这两个问题.,来表示分割T越来越细,因为可能某些,的长度不趋于0.,就能保证分割越来越细.,总结以上分析，下面给出定积分定义.,对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和,的极限.,定义1,并称J为f在a,b上的,及任意,定积分,记作,注1,列极限，也不是函数极限.,注2,中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求,因此定积分既不是数,关于定积分定义，应注意以下几点：,f(x)在每个小区间xi1,xi上变化不大,这相当于,要求f(x)有某种程度上的连续性.,a,b上的一致连续性,可证f(x)在a,b上可积.,下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.,解,例1,存在.为方便起见,令,以后将知道f(x)在a,b上连续时,利用f(x)在,则,此时黎曼和的极限化为,的极限.,于是,注这里利用了连续函数的可积性.因为可积,所,以可取特殊的分割(等分)和特殊的介点,显然,按定义计算定积分非常困难,9.2牛顿莱布尼茨公式,须寻找新的途径计算定积分.在本节中,介绍牛顿莱布尼茨公式,从而建立了,定积分与不定积分之间的联系,大大简,化了定积分的计算.,返回,若质点以速度v=v(t)作变速直线运动,由定积分,注意到路程函数s(t)是速度函数v(t)的原函数,定义,质点从时该a到b所经过的路程为.,另一方面,质点从某时刻a到时刻b所经过的路,因此把定积分与不定积分联系起来了,这就是下,面的牛顿莱布尼茨公式.,函数f在a,b上满足条件:,(i)f在a,b上连续,(ii)f在a,b上有原函数F,则,(1)f在a,b上可积;,证因f在a,b上一致连续,则,上满足拉格朗日中值定理条件,于是,注1以后将证明,若f在a,b上连续,则f在a,b,注2条件(i)不是必要条件,以后将举例说明,存在,例2,解,上必有原函数F(x).因此条件(ii)是多余的.,函数f在a,b上有间断点,但f在a,b上仍可,积.,例3,解,例4,解,用牛顿莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限.,例5,解,上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为,因此,例6,解令,因此,则,判别一个函数f(x)在a,b上是否可积,就是判别,9.3可积条件,的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别,极限是否存在.在实际应用中，,直接按定义来判定是困难的.我们希望由函数本身,函数的可积性.为此,先给出可积准则,并以此证明,有界性是可积的必要条件而非充分条件,连续性是,可积的充分条件而非必要条件.,返回,定理9.1(可积必有界）,若函数在上可积，则在上必有界.,证设,由定义,对,于是,于是,矛盾.,以下例子告诉我们,有界性并不是可积的充分条件.,证若D(x)在a,b上可积,则,相矛盾,所以,称为f关于分割T的上和,其中,称为f关于分割T的下和,其中,定理9.3（可积准则）函数f在a,b上可积的充要,条件是：,此定理将在本章第六节定理9.15中证明.在用它,振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连,续性相关联的概念.,证明可积性问题时,有多种方法可使,常见的有三种方法,下面分别作出介绍.,定理9.4（连续必可积）,从而,因此当,第二种方法:,定理9.5（单调必可积）,于是,因此,若,第三种方法:,于是,定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）,此时可用第三种方法证明f可积.,f在a,b上可积.,使,则存在分割,例2证明黎曼函数,上可积,且,只有有限多个,设它们为,分割,从而,复习思考题,1.f(x)为a,b上的有界函数,其不连续点的集合,求证f在a,b上可积.,试问f在a,b上是否一定不可积？,a,b中稠密,即,为E0.若,9.4定积分的性质,一、定积分的性质,本节将讨论定积分的性质,包括定积分,的线性性质、关于积分区间的可加性、积,分不等式与积分中值定理,这些性质为定,积分研究和计算提供了新的工具.,二、积分中值定理,返回,证,一、定积分的性质,从而,因此,性质2,可积,且,证,从而,因此，fg在a,b上可积,且,性质3,证,并而成的新分割),则,于是,因此fg在a,b上可积.,(必要性),因此,f在a,b上可积.,在T上加入分点c得到新的分割,由3习题第1题,知道,因此，f在a,c与c,b上都可积.,若f在a,b上可积,由必要性证明,若分割T使点,性质5,证,注,因此,推论,证,证,即,可积,且,因此证得,上连续，则可得到严格不等式,例1,证,由连续函数的局部保号性质,由此推得,即,此结论,由本章总练习题10证明.,注3,注2,二、积分中值定理,定理9.7(积分第一中值定理),最小值m.由于,由连续函数的介值性定理，,则由连续函数的介值定理,必恒有,因此,注2积分第一中值定理的几何意义如下图所示:,定理9.8(推广的积分第一中值定理）,证,复习思考题,1.,2.,9.5微积分学基本定理,一、变限积分与原函数的存在性,本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数的原函数的存在性.在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法.,三、泰勒公式的积分型余项,二、换元积分法与分部积分法,返回,一、变限积分与原函数的存在性,定理9.9(变上限定积分的连续性),为变上限的定,于是,定理9.10（微积分学基本定理),若f在a,b上连续,上处处可导,且,由x的任意性,f在a,b上连续.,证,由于f在x处连续，因此,注1本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似,续函数必存在原函数”这个重要结论.,乎不相干的概念之间的内在联系,也证明了“连,注2由于f的任意两个原函数只能相差一个常数,所以当f为连续函数时,它的任一原函数F必为,(1)对任意分割T：,(4)综合(2),(3),得到,推论,即,证若g为单调递减函数，,因此,即得,二、换元积分法与分部积分法,则,证,定理9.12（定积分换元积分法）,注与不定积分不同之处:定积分换元后不一定要,例1,解,（不变元,不变限）,元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.,保留原积分变量，因此不必改变积分限;用第二换,用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时，,例2,解,（变元,变限）,例3,解,（必须注意偶次根式的非负性）,例4,解,因此,定理9.13（定积分分部积分法）,若u(x),v(x)为a,b上的连续可微函数,则有定,积分的分部积分公式：,移项后则得,所以,例5,解,例6,解,于是,其中,若u(x),v(x)在a,b上有(n+1)阶连续导函数,则,三、泰勒公式的积分型余项,由此可得以下带积分型余项的泰勒公式.,阶连续导数,则,则,定理9.14,注由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型,由积分第一中值定理,可得,此式称为泰勒公式的柯西型余项.,若记,复习思考题,(2)给出正确证明(提示:需要借助变限积分).,要求:,(1)指出其中三处错误;,*9.6可积性理论补叙,一、上和与下和的性质,本节首先证明达布定理,然后用达,布定理证明函数可积的第一、第二、,第三充要条件,其中第二充要条件即,为第三节中介绍的可积准则.,二、可积的充要条件,返回,一、上和与下和的性质,有相应的上和与下和:,由2,其中,上和的几何意义:,曲边梯形“外接”矩形,下和的几何意义:,曲边梯形“内接”矩形,面积之和.,面积之和.,性质1,