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常微分方程第二章初等积分法(2)主讲人：刘祚秋副教授,定义1,设方程：,若有则方程（2.1）称为变量分离的方程.,2.2、变量分离的方程,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,例：,分离变量:,两边积分:,注:,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,解:,将变量分离得,两边积分得:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,例5,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,P30-312(3,4,5),4,2.3一阶线性微分方程,一、齐次方程和非齐次方程,一阶线性微分方程的一般形式：,二、一阶线性微分方程的解法常数变易法,代入(1)得,积分得,注求(1)的通解可直接用公式(3),解:,将方程改写为,首先,求齐次方程,的通解,分离变量得,两边积分得,现用常数变易法求非齐次方程的通解：,即,积分得,故通解为,解:,但将它改写为,即,故其通解为,解:,先求原方程的通解,故所给初值问题的通解为,性质1齐次线性方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零；性质2线性方程的解是整体存在的；性质3齐次线性方程的任何解的线性组合仍是它的解，齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和是非齐次方程的一个解；齐次方程的任意两个解之差是相应齐次方程的解；性质4非齐次线性方程的任一解与相应齐次线性方程的通解之和构成非齐次线性方程的通解；性质5线性方程的初值问题的解存在且唯一。,线性常微分方程的性质,形如,的方程,称为伯努利方程.,解法:,解:,解以上线性方程得,例5R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,四线性微分方程的应用举例,电路的Kirchhoff第二定律:,在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为,解线性方程:,解:,于是由Kirchhoff第二定律,得到,设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭
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