2026年高考数学一轮复习：空间点、直线、平面之间的位置关系（讲义）解析版

专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1平面的基本性质及推论】.......................................................................4

【题型2点(线)共面问题】...........................................................................6

【题型3点共线、线共点问题】........................................................................10

【题型4等角定理】....................................................................................14

【题型5平面分空间问题】.............................................................................15

【题型6异面直线的判定】.............................................................................18

【题型7异面直线所成的角】..........................................................................21

【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】................................................24

【题型9立体几何中的截面问题】.....................................................................25

1、空间点、直线、平面之间的位置关系

考点要求真题统计考情分析

空间点、直线、平面之间的位置关

系是高考的热点内容.从近几年的高考

⑴借助长方体，在直观认识空

情况来看，主要分两方面进行考查，一

间点、直线、平面的位置关系

2023年上海卷：第15题，5分是空间中点、线、面关系的命题的真假

的基础上，抽象出空间点、直

2025年全国一卷：第17题，15判断；二是异面直线的判定和异面直线

线、平面的位置关系的定义

分所成角问题；常以选择题、填空题的形

(2)了解四个基本事实和一个

式考查，难度较易；也会以解答题的一

定理，并能应用定理解决问题

小问考查点、线、面的位置关系，难度

中等.

知识梳理

知识点1平面的基本事实及推论

1.四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论

(1)四个基本事实及其表示

①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(2)四个基本事实的隹用

基本事实I：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.

基本事实4：①判断两条直线平行.

(3)基本事实1和2的三个推论

推论自然语言图形语言符号语言

经过一条直线和这条直线

点46a=>a与4共画于平

推论1外一点，有且只有一个平

面区旦平面唯一.

面./“/

经过两条相交直线，有且只4nb=0=〃与力共面于平

推论2

有一个平面/面a,且平面唯一.

经过两条平行直线，有且只直线a〃b=在线a,b共面

推论3

有一个平面./—・‘/于平面a,且平面唯一.

2.等角定理

⑴自然语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

(2)符号语言:如图(1)(2)所示，在/力。8与N4O5中，OA//OK,OB〃O'B',则N<或

/幺。4+/4。归'=180。.

知识点2共面、共线、共点问题的证明方法

1.共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法:先确定一个平血，然后再让其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

知识点3平面分空间问题

1.平面分空间问题

一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢？

(1)两个平面有两独情形：

①当两个平面半仃时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).

ZZ7

(I)(2)

(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)：

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).

知识点4空间点、线、面之间的位置关系

1.空间中直线与直线的位置关系

(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种:

(止而百纬J相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

＜兴卸且找［平行直线：在同一平面内,没有公共点.

界面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

(2)异面直线的画法

为了表示异面直线。力不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.

2.空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三独，具体如下:

位置关系图形表示符号表示公共点

直线在平面内2all6有无数个公共点

直线与平面相交aC\a=A有且只有一个公共点

直线与平面至任没有公共点

3.空间中平面与平面的位置关系

(1)两种位置关系

两个平面之间的位置关系有且只有以下两独，具体如下:

位置关系图形表示符号表示公共点

口

两个平面平行口al"没有公共点

两个平面相交aC\fi=-a有一条公共直线

(2)平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.

4.异面直线所成的角

(1)定义：已知m是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线b'Hb,把"与加所成的角叫做

异面直线。与b所成的角(或夹角).

(2)范围:.

【方法技巧与总结】

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异而直线所成的

角，也可能等于其补角.

举一反三

【题型1平面的基本性质及推论】

【例1】(24-25高一下•陕西西安・期末)下列命题正确的是(：

A.任何一个平面图形都是一个平面B.平面就是平行四边形

C.圆心和圆上两点可确定一个平面D.梯形可确定一个平面

【答案】D

【解题思路】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可.

【解答过程】由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错；

若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错；

平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对.

故选：D.

【变式1-1]（24-25高二上•上海•阶段练习）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（1

①三个不同的点确定一个平面：②一条直线和一个点确定一个平面：

③空间两两相交的三条直线确定•个平面：④两条平行直线确定一个平面.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解题思路】利用平面公理及推论即可判断.

【解答过程】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①惜误；

一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误；

空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误；

两条平行直线确定一个平面，故④正确.

故选：C.

【变式1-2]（24-25高一下•新疆哈密•期中）下列命题正确的是（）

A.三个点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.两条直线可以确定一个平面D.长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体

【答案】D

【解题思路】根据平面的基本性质求解.

【解答过程】三个不共线的点可以确定一个平面，A错误；

一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误：

两条异面直线不能确定平面，C错误.

长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确.

故选：D.

【变式1-3]（24-25高一下•河北石家庄•阶段练习）下列不是基本事实的是（）

A.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

D.经过两条平行直线，有且只有一个平面

【答案】D

【解题思路】根据基本事实判断即可.

【解答过程】对于A,“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是

基本事实3,故A正确.

对于B,“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4,故B正确；

对于C,“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2,故C正确；

对于D,经过两条平行直线，有且只有一个平面是基本事实1的推论，故D错误；

故选：D.

【题型2点（线）共面问题】

【例2】（24-25高二下•河南•阶段练习）如图，在下列四个正方体中，A,B,C,。分别为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，/，B，C,。四点共面的是（）.

【解题思路】根据正方体的性质判断点是否共面.，并应用平面的性质画出截面即可判断.

【解答过程】由正方体性质，选项A,B,C中，A,B,C,。匹点显然不共面.

对于D选项，如下图取石，尸为正方体所在棱的中点，依次连接力。CE6产，

易知户为平面正六边形，所以4B,C,。四点共面.

故选：D.

【变式2-1］（2025•吉林•模拟预测）在长方体力BCO-ABiGDi中，直线&C与平面力斗〃的交点为M,。为

线段々D］的中点，则下列结论错误的是（）

A.4M,0三点共线B.M,0,4,B四点异不共面

C.四点共面D.四点共面

【答案】C

【解题思路】由长方体性质易知四点共面旦。M,84是异面直线，再根据M与4。、面面

力当D］的位置关系知M在面力。。遇1与面4当小的交线上，同理判断。、力，即可判断各选项的正误.

【解答过程】

因为44//CG，

则四点共面.

因为MW4C,

则MW平面力CC41，

又M£平面力斗。1，

则点M在平面ACG4与平面力BW1的交线上，

同理,0、A也在平面4CCi4与平面AaD1的交线上,

所以4M,。三点共线；

从而M,O,AX,A四点共面，都在平面ACC}Ay内，

而点8不在平面4CCm1内，

所以M,。,8四点不共面，故选项B正确；

8,81,0,三点均在平面8当。1。内，

而点4不在平面内，

所以直线AO与平面BBW也相交且点O是交点，

所以点"不在平面BB］小。内，

即瓦当,0,M:四点不共面，

故选项C错误；

BCIIDMi，且"=。出，

所以8CD/i为平行四边形，

所以。1，/?内共面，

所以四点共面，

故选项D正确.

故选:C.

【变式2-2]（24-25高一下•河北邯郸•期末）如图,在空间四边形2B20各边48,BC,CD,D4上分别取点E,

F,G,H,若直线E",GF相交于点P,则下列结论错误的是（）

A.点P必在平面内B.点P必在平面。80内

C.点户必在直线30上D.直线FG与直线BD为异面直线

【答案】D

【解题思路】利用基本事实2,3可得正确的选项.

【解答过程】

对干AB,

因为直线EH在平面4B0内，且PWEH,所以点尸必在平面480内，故A正确;

同理直线FG在平面C8D内，且PWFG,所以点P必在平面C8D内，故B正确：

由A,B选项得点P在平面4BD内，也在平面CBD内，

对于CD,

由基本事实3得点P在交线BC上，故C正确；直线尸G与直线8。为相交直线,

故D不正确,

故选：D.

【变式2-3］（24-25高三上•河北承德・期中）如图，在下列正方体中，M,N为正方体的两个顶点，P,。分

别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N,尸，。四点共面的是（）

【答案】D

【解题思路】根据图形及平行公理判断即可.

【解答过程】对于A：显然AQ、N在正方体的上底面，旦三点不共线，M不在正方体的上底面,

所以P、Q、N、M四点不共面，故A错误；

对于B：

如图，MN//BA,即人、B、M、N四点共面，即Q、M、N三点共面，且三点不共线,

又PW平面48MN,所以P、Q、N、M四点不共面，故B错误；

对于C：显然P、M、N在正方体的下底面，且三点不共线，Q不在正方体的下底面，

所以P、Q、N、M四点不共面，故C错误：

对于D：

如图，连接4C,则PQ〃/1C,又4C〃MN,所以PQ〃MN,

所以P、Q、N、M四点共面，故D正确.

故选：D.

【题型3点共线、线共点问题】

【例3】（2025・湖南•二模）如图，在三棱柱4B2-4B1C1中,E,尸,G,H分别为881,CC】,的中点,

则下列说法错误的是（）

B.EF//GH

C.三线共点D.乙EGB[=乙FHG

【答案】D

【解题思路】对于AB,利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C,利用平面公理判断得EG,

F”的交点P在A4i，从而可判断；对于D,举反例即可判断.

【解答过程】对于AB,如图，连接EF,GH,

因为是△&B1C1的中位线，所以GH〃/g,

因为&E,且8iE=C/,所以四边形B]£FCi是平行四边形，

所以EO/BiG，所以EF〃GH,所以£吃G,H"四点共面，故AB正确;

对于C,如图，延长EG,9”相交于点P,

因为PEEG,EGu平面4BB遇口所以PW平面4B44,

因为PE丹/,股/<=平面/1CG4,所以P6平面4CC14，

因为平:面Cl平面=AAlf

所以PE/L41，所以EG,FH,/Mi三线共点，故C正确；

对干D,因为=当G/HHCi时，tan^EGBiHtan乙F”Ci，

X0<Z.EGB1,Z.FHC1<p贝iJ4EGBi,乙FHg,故D错误.

故选：D.

【变式3-1]（24-25高一下•河南开封•期末）如图，在正方体48CD—&BiC]Z）i中，£为棱的靠近以上

的三等分点.设4E与平面8当。1。的交点为。，则（）

A.三点Di，0,8共线，且08=205

B.三点0,。,8共线，且08=305

C.三点九0,8不共线，且。8=2。。1

D.三点0卜。,8不共线，且。3=3。。1

【答案】B

【解题思路】连接力0]，8G利用公理2可直接证得，并且由三保形相似得比例关系，从而求出结果.

【解答过程】连接连接4久，B“

•••U£直线a&A占u¥:面，Ue平面

又•••06平面幽。1。，平面力8"1n平面峭处。=BD1，:.06直线幽

・••三点。1，0,8共线.

•••△ABO-△ED。•••OB:0D1=AB:ED{=3:1,•••OB=30Z\.

故选：B.

【变式3-2]（24-25高三•全国•课后作业）在空间四边形48co的各边48、BC、CD、04上分别取E、尸、

G、H四点，若EFCGH=P,则点。（）

A.一定在直线8。上B.一定在直线力。上

C.既在直线力C上也在直线8。上D.既不在直线4C上也不在直线8。上

【答案】B

【解题思路】由题意可得尸£平面,44C,尸£平面力CO,又平面/BCD平面力CZ）=4C,则夕£〃'，可得答案.

【解答过程】如图，

•••Ebu平面力4C,GHu平面力CO,EFCGH=P,

；・P£平面力4C,平面4CO,

又平面Z8CCI平面ACD=AC,

/.PGJC,即点尸一定在直线力。上.

故选：B.

【变式3-3]（24-25高一下•河南洛阳•阶段练习）如图，在正方体ABCD41/。避1中，P,0分别是棱

CC］的中点，平面DiPQn平面=h则下列结论错误的是［)

A./过点B

B.，不一定过点4

C.的延长线与DA的延长线的交点在I上

D.QQ的延长线与DC的延长线的交点在［上

【答案】B

【解题思路】作出辅助线，得到P,B,。四点共面，即BE平面DiPBQ,又B6平面4BCD,所以B6/：

作出辅助线，得到打£平面DiPBQ,平面4RCD,故尸€1,同理D正确.

【解答过程】连接PB,QB,如图，

因为尸，。分别是棱eg的中点，

由勾股定理得尸=DiQ=QB=BP,

所以四边形0P8Q是菱形，

所以。1，P,B,。四点共面，即BW平面。/BQ.

又BE平面48CD,所以8WZ,故A结论正确，B结论错误.

如图，延长DiP与DA的延长线交于点凡延长D】Q与DC的延长线交于点£

因为D/u平面。［P8Q,所以FE平面。J8Q,

因为。Fu平面ABCD,所以尸6平面力BCD,所以FEZ,

同理E6I,故C,D正确.

故选：B.

【题型4等角定理】

【例4】（24-25高一下•全国•课后作业）岩AB〃A'B',BC//BC\且Z/18C=45。，则乙不夕。等于（）

A.45°B.135°C.45。或135。D.不能确定

【答案】C

【解题思路】根据空间等角定理判断即可.

【解答过程】因为4B〃TB',BC"B'C；且〃BC=45。，

所以乙4R'C'=45。或BC=135°.

故选：C.

【变式4-1］（2025高一下•全国・专题练习）已知角。的两边和角0的两边分别平行，且a=80。，则/?=（）

A.80°B.100°

C.80。或100。D.不能确定

【答案】C

【解题思路】根据等角定理确定角％与角/?的关系，即可得由

【解答过程】由等角定理可知角a的两边和角/?的两边分别平行，则两角相等或互补，

故a=0或Q+/?=180°,所以0=100。或0=80°.

故选：C.

【变式4・2】（24-25高二•全国•课后作业）不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两

个三角形（）

A.一定是全等三角形B.一定是相似但不全等的三角形

C.一定是相似或全等的三角形D.可能不全等或相似

【答案】C

【解题思路】根据等角定理，即可判断选项.

【解答过程】根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全

等.

故选：C.

【变式4・3】（24-25高一•全国•课后作业）给出下列命题：

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个弁相等;

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.

其中正确的命题有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解题思路】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断;

对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不

互补，据此判断.

【解答过程】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确：

对于③，如图所示，

BCLPB,ACLPA,N/C8的两条边分别垂直于〃的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补,

故③错误.所以正确的命题有1个.

故选：B.

【题型5平面分空间问题】

【例5】(2024•四川内江•三模)三个不互相重合的平面将空间分成几个部分，则"的最小值与最大值之和为

()

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解.

【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：

(1)三个平面两两平行，如图1,可将空间分成4部分；

(2)两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2,可将空间分成6部分：

1

I2

(3)三个平面中没有平行的平面:

(i)三个平面两两相交且交线互相平行，如图3,可将空间分成7部分;

(ii)三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4,可将空间分成8部分;

(iii)三个平面两两相交且交线重合，如图5,可将空间分成6部分,

图5

所以三个不平面将空间分成4、6、7、8部分，孔的最小值与最大值之和为12.

故选：B.

【变式5-1](24-25高二上,四川乐山•阶段练习)三个平面将空间分成7个部分的示意图是()

【解题思路】根据空间中平面位置关系逐项判断即可.

【解答过程】对于A,三个平面将空间分成4个部分，不合题意;

对于B,三个平面将空间分成6个部分，不合题意:

对于C,三个平面将空间分成7个部分，符合题意;

对于D,三个平面将空间分成8个部分，不合题意.

故选：C.

【变式5-2](2025・广东广州•模拟预测)三个不互相重合的平面将空间分成〃个部分，则几不可能是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解题思路】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出71的值.

【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：

(1)三个平面两两平行，如图L可将空间分成4部分；

(2)两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2,可将空间分成6部分：

1

(3)三个平面中没有平行的平面：

(i)三个平面两两相交且交线互相平行，如图3,可将空间分成7部分；

(ii)三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4,可将空间分成8部分.

(iii)三个平面两两相交且交线重合，如图5,可将空间分成6部分;

综上，可以为4、6、7、8部分，不能为5部分,

故选：B.

【变式5-31（24・25高一下•广东广州•期末）空间的1个，2个，3个,4个平面最多可将空间分别分成2个,

4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（）

A.25B.26C.28D.30

【答案】B

【解题思路】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解.

【解答过程】

先研究直线分一个平面：

1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分，

3条直线分一个平面为7部分，这个7=1+1+24-3,

4条直线分一个平面为11部分，这个11=1+1+2+3+4,

5条直线分一个平面为16部分，这个16=1+1+2+3+4+5,

由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个.8个区域.

当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域,

所以4个平面最多可将空间分成8+7=15个区域，

当第5平面与前面.4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域,

所以5个平面最多可将空间分成15+11=26个区域,

故选:B.

【题型6异面直线的判定】

【例6】（2025•上海•模拟预测）如图，718co-是正四棱台，则卜.列各组直线中属于异面直线的

是（）

A.48和B.AAi^CCiC.8Z）i和81。D.AXD^AB.

【答案】D

【解题思路】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断.

【解答过程】因为48CD—&BiGDi是正四棱台，所以48〃为丛〃Ci外,故A错误，

侧棱延长交于一点，所以与CCi相交，故B错误，

同理84与。小也相交，所以8,历,。1，0四点共面，所以BO1与氏0相交，故C错误，

4%与力8是异面直线，故D正确.

故选：D.

【变式6・1】（2025・上海•模拟预测）如图所示，在正方体中，点P为线段上的动点,

则下列直线中，始终与直线8P异面的是（）

A.。历B.ACC./IDiD.B]C

【答案】B

【解题思路】根据异面直线的定义一一判断即可.

【解答过程】由正方体的性质易知当P为4G的中点时，P为B15的中点，

而所以B,D,Di，8i共面，则8P、在平面BDD[/上，故A不符题意；

因为A4〃CC],即4C,g,&共面,

易知P6平面4CC14,而80平面ACC14,PE&C1，PAC,

故6P与4C异面，故B符合题意；

当P、g重合时，易知AB〃DiC“4B=OiC],

则四边形为8Ci〃是平行四边形，则此时故C不符合巡意；

当P、Ci重合时，显然/C,BP相交，故D不符合题意.

故选：B.

【变式6・2】（24・25高一下•河北•期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列

直线中，与直线4。是异面直线的是（）

B.EHC.EFD.BC

【答案】C

【解题思路】根据正方体展开图得到直观图，即可判断.

【解答过程】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线4。是异面直线的是EF,

K^AD//BC//EH//FG,所以力。与8c共面、AD与EH共面、40与FG共面.

【变式6-3］（24-25高二上•上海涓东新•期末）如图所示，长方体4此0-48cz）i中,

P是线段41cl上的动点，则下列直线中，始终与直线8P异面的是（）

A.DD1B.B[CC.D}CD.AC

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答.

【解答过程】在长方体力—中，

BB/DDi，当P是力£1与当。1的交点时，BPu平面BOO]4,BP与。外相交，A不是；

当点P与g重合时，BPu平面8”科],BP与当。相交，B不是；

当点尸与为重合时，因为长方体-&当的。1的对角面ABC小是矩形，此时8P〃0i。，C不是；

因为4Cu平面/1BCD,8£4&8€平面48。。，而PC平面力BCD,因此BP与4c是异面直线，D是.

故选：D.

【题型7异面直线所成的角】

【例7】（2025•云南红河•三模）在四棱锥P-ABCD中，底面4BCO为矩形，P41平面4BCO,E为PC的中点,

AB=PA=2,若四棱锥P-48CD的外接球半径为2,则AE与8c所成角的正弦值为（）

A.iB.立C.&D.更

2224

【答案】B

【解题思路】将四棱锥P—4BCD补成长方体48co—PB]gO[,设/。=m,根据条件可求得m=2&,可得

4E与8c所成的角即为/EAD或其补角，在△4EZ）中，利用余弦定理求解.

【解答过程】设4D=m，如图所示，将四棱锥"一4BCD补成长方体48CD-P8iGZ）i，

则四棱锥尸-48C0的外接球半径等于长方体的外接球半径，

因为AD=m,AB=PA=2,即〃=2+;+m=所以机=2企.

乂BC〃40,所以力E与8C所成的角即为乙£力。或其补角，

由题意以及长方体结构特征知^尸力。和4PDC均为直角三角形，

所以4E=E0=gpC=2,AD=2V2,

AE2+AD2-ED24+8-4V2

所以cosZ-EAD=________.

2AEAD2x2x2近-2

可知AE与BC所成的角为?所以他与BC所成的角的正弦值为当

4L

故选：B.

【变式7-1]（24-25高三下•黑龙匚•阶段练习）在正四面体48CD中，M,N分别是棱4B,CZ）的中点，则

直线1N与CM所成角的余弦值为（）

A，B.c.冬D.西

3333

【答案】C

【解题思路】将正四面体/出CO中置于正方体中，分析易得NEIICW,可得ZL4NE为直线4V与。”所成角（或

补角），进而结合余弦定理求解口]可.

【解答过程】将正四面体48CO中置于正方体中，如图，

易得CN//ME,CN=ME,

所以四边形CNEM为平行四边形，则NEIICM,

则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角，

即44NE为直线4N与CM所成角（或补角），

设正方体的棱长为2,则4E=OE=2,ON=V^,AN=NE=n，

在△/NE中，由余弦定理可得，cos"NE=生修等=%关=工

2AN-NE2v6v63

因此直线AN与CW所成角的余弦值为右

故选：C.

【变式7-2】（（24-25而一下•广东深圳•期末）在长方体ABCD-ABiCiDi中，AB=AD=2A/3,AA}=2,

则直线/小与B0所成角的余弦值为（）

A遗R遗C—D—

A.3'434

【答案】D

【解题思路】作出辅助线，得到乙4小名即为AQ和8。所成角，并由勾股定理求出各边长，利用余弦定理求

出夹角余弦值.

【解答过程】连接&Di，AB1,因为BD〃&Di，所以乙4D$i即为4Di和B0所成角,

因为力8=AD=26，441=2,

22

由勾股定理得=AD1=V12+4=4,B1D1=BD=y/AB-¥AD=2瓜

£>“2+8[5-81M_16+24-16_V6

因此cos乙4。1%

201Aoi的-2x4x276-41

故选：D.

【变式7-3]（2025•内蒙古呼和浩特•二模）如图，已知正四棱锥P—4BCD的所有棱长均相等，E为棱PA的

中点，则异面直线8E与PC所成角的余弦值为（）

【答案】C

【解题思路】根据线线平行可得异面直线BE与PC所成角为4BEO（或其补角），即可根据余弦定理求解.

【解答过程】连接4C,取AC的中点。，连接80,E。，

由题意知，EO//PC,

则异面直线8E与PC所成角为/BE0（或其补角），

在^B0E中，E0=^PC=l,0B=^AC=或,8E=畀力=遍,

"2+£。2-8。2_3+1—2_V5

则cos乙BE0=

2XBEXEO~2、阿―3'

则异面直线BE与PC所成角的余弦值为日,

«5

【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】

【例8】（2025•天津•一模）已知“，〃是两条直线，。是一个平面，下列命题正确的是（）

A.若m〃a,n//a,贝Um〃九B.若m1a,mln,则n〃a

C.若m1a,nca,则m1nD.若?n〃a,mln,则n1a

【答案】C

【解题思路】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可.

【解答过程】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误；

对B：若m_La,mln,则九〃a或nua,故B错误；

对C：根据线面垂直的定义可知，C正确；

对D：若血〃a,77i_Lm则直线n与平面a的位置关系不确定，故D错误.

故选：C.

【变式8-1]（2025・云南•模拟预测）设小,九是两条不同的直线，。为平面，则下列说法正确的是（）

A.若?nl7i,nIIa,则m1a

B.若m||n,nIIa,则mIIa

C.若m1a,nIIa,则m1n

D.若m||a,n||a,则m||n

【答案】C

【解题思路】对于A,利用直线与平面的位置关系判断；对于B,利用直线与平面的位置关系判断；对于C,

利用线面垂直的性质定理判断；对于D,利用直线与直线的位置关系判断.

【解答过程】对于A,若mln,九||a,则m||a或mua或m与比相交，故A错误；

对于B,若mIIn,nIIa,则mII。或mua,故B错误；

对于C,若m_La,nIIa,则mJ.71,故C正确;

对于D,若m||a,n||a,则||ri或m与九相交或m与九异面，放D错误.

故选：C.

【变式8・2】（2025•安徽•模拟预测）已知a,£是两个不重合的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题中

错误的是（）

A.若m〃几nua,则m〃aB.若〃瓜aC/?=n，则m〃九

C.若m_La,m_L0,则。〃6D.若a_!_/?,血■!"a,几6，则m_L九

【答案】A

【解题思路】由线面的平行及垂直进行判断.

【解答过程】对于A项，若m〃几,nua,则m〃a或mua.

对于B,C,D项，显然成立，

故选:A.

【变式8・3】（2025•天津•一模）已知m,n是两条不同的直线，a,0,y是二个不同的平面，则下列结论正确

的是（）

A.若m〃k，m//a,贝"〃aB.若m〃n,a///?,m1a,则九1p

C.若aJ_y,/71y,贝Ua〃6D.若。〃0,mua,nu°,则m〃几

【答案】B

【解题思路】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.

【解答过程】A.若m〃几，m//a,则?i〃a或八ua,故A错误；

B.若m〃n,a//p,m1a,则n«L夕，故B正确；

C.若aly,<JLy,则a〃。或。与£相交，故C错误;

D.若a〃夕，maa,nu0,则m〃n或异面，故D错误.

故选：B.

【题型9立体几何中的截面问题】

【例9】（2025•陕西铜川•三模）在正方体ABC。中，E,F,G分别为BC,CD,DG的中点,若列8=4,

则平面EFG载正方体所得截面的面积为（）

A.6V2B.6V3C.12V2D.12百

【答案】D

【解题思路】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为2注的正六边形，计算其面积即可得.

【解答过程】如图，过点G作EF的平行线交8%于点人过点/作FG的平行线交于点/,

过点/作"的平行线交为。1于点从易知点都在截面"G内，

且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为2夜的正六边形,

所求面积S=6xQx2V2x2V2xsin60°)=126.

故选：D.

【变式9-1】（2025•全国•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD-48iCiDi中，£■为棱8C的中点,

用过点4,E,Ci的平面截正方体，则截面周长为（）

A.3V2+2x/5B.9C.272+2A/5D.372+273

【答案】A

【解题思路】作出正方体的截面图形，求出周长即可.

【解答过程】

如图，取的中点G,连接GE,为最AC.

因为E为4c的中点，所以GE〃/C,GE=\AC,

4

又AA[〃CC\,AA1=CCX,

所以四边形为平行四边形，

所以4C〃4C1，AC=A}CX,

所以4G〃GE,41G=2GE,

所以用过点4,E,C〔的平面截正方体，所得截面为梯形4GEG,

其周长为2&+西+&+西=3&+2V5.

故选：A.

【变式9-2]（2025•上海黄浦•二模）如图，已知P,Q,R分别是正方体48。。-4出£。1的棱和的

中点，由点P,Q,R确定的平面口截该正方体所得截面为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】D

【解题思路】根据题意，取4的中点T,的中点M,Cg的中点S,连接PM,7M,RS,QS,可得过P,Q,R

的截面图形.

【解答过程】解：如图，取45的中点兀

A4的中点M,CCi的中点S,连接PM,TM,RS,QS,

由正方体的性质可知AiC[〃MS〃4C,

由中位线性质可知PQ〃力C,RT//A1C1，

所以，PQ//MS//RT,

所以，由点P,Q,R确定的平面/?即为截面PQSR7M,其为六边形.

故选：D.

【变式9-3］（2024•辽宁•模拟预测）在正四棱柱48CD-4中，AB=AD=2,&A=3,P为线段的久

的中点，•质点从A点出发，沿长方体表面运动到达P点处，若沿质点A的最短运动路线截该正四棱柱，则所

得截面的面积为（）

A.y/3B.—C.—D.3瓜

24

【答案】B

【解题思路】根据正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，进而可得截面与截面面积.

【解答过程】如图，把正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，

所以质点从4到P的最短距离为3V2,

此时质点从4点出发，经过DDi上靠近处的三等分点S,再到达P点,

面/SP截正四棱柱所得截面为五边形ASPQR,如图，

由AS=4R=RS=272,SP=PQ=QR=鱼，

所以沿质点A的最短运动路线截正四棱柱，

则所得截面的面积为：

S△ARS+S梯形PQRS=26+竽=当.

故选：B.

过关测试

一、单选题

1.（2024,陕西商洛•模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（）

A.三条直线最多可确定1个平面B.三条直线最多可确定2个平面

C.三条直线最多可确定3个立面D.三条直线最多可确定4