常微分方程数值解法 3

综合设计实验,微分方程求解与计算机模拟,一、问题的提出,常微分方程初值问题的数值解是求上式的解，在一系列离散节点上的近似值。相邻两节点称为步长。本次实验，对常微分方程、常微分方程组和高阶微分方程的常用数值解法进行数值实验。并对一实际问题-鱼雷跟踪问题，进行数学建模，计算机数值求解，计算机模拟。,二、实验目的与要求,1、熟练掌握常用的微分方程的数值解法2、了解建立微分方程模型的基本方法3、学习Mathematica数学软件解微分方程的基本命令4、学习用计算机模拟方法解微分方程问题,三、预备知识、基本原理与功能,1、导数的几何意义、物理意义2、求解常微分方程的欧拉（Euler）方法、后退的欧拉公式、梯形公式、改进的欧拉公式、龙格-库塔(Runge-Kutta)公式和亚当姆斯（Adams）内插外插公式。各种方法区别与联系3、用上述方法求解微分方程组和高阶方程4、求微分方程的内置函数及用法,方法小结,考察差商，根据微分中值定理，存在，使得于是，利用得到这里令，称作区间上的平均斜率。由此可见，只要对平均斜率提供一种算法，那么由上式就可推导出一种计算公式下边我们回顾一下学过的各种方法,欧拉（Euler）公式,后退的欧拉公式,梯形公式,改进的欧拉公式,梯形公式仅迭代一次，就以y(1)n+1作为yn+1，得到的公式为改进的欧拉公式,龙格-库塔（Runge-Kutta）方法,上述方法启示我们，如果设法在xn,xn+1,内多预测几个点的斜率值，然后它们加权平均作为平均斜率K*,则可能构造出具有更高精度的计算公式，这就是龙格-库塔方法的基本思想。以下是经典的四阶龙格-库塔公式：,亚当姆斯(Adams)公式,Adams外插公式Adams内插公式Adams预测-校正,亚当姆斯(Adams)公式,Adams内插外插公式联合使用称作Adams预测-校正系统，用外插公式计算预测，用内插公式进行校正。计算时需要注意以下两点：1、外插公式为显式，内插公式为隐式。故用内插公式计算需要进行迭代。2、这种预测-校正法是四步法，计算时，不但用到前一步的信息，而且要用到更前三步的信息，因此它不是自开始的，实际计算时必须借助于某种单步法，为它提供开始值。,常微分方程组和高阶微分方程的数值解法,前面介绍的各种数值解法，对微分方程组和高阶微分方程同样适用。下面以两个方程组和二阶方程为例说明这些方法的计算公式。考虑方程组：,常微分方程组数值解法,其四阶经典龙格-库塔公式如右：,高阶微分方程的数值解法,对高阶微分方程，总可以化成方程组的形式，例如二阶方程：,鱼雷追踪问题,一敌舰在某海域沿正北方向航行时，我方战舰位于敌舰正西方向1nmile处，向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42n/min，鱼雷速度为敌舰速度的两倍。试求敌舰航行多远时被鱼雷击中？1、建立模型设敌舰速度v0,追击曲线y=y(x)t时刻，鱼雷位置在P(x,y)，敌舰在Q(1,v0t)处，由于鱼雷速度方向始终指向敌舰，故有或两边对x求导,鱼雷追踪问题,即：（1）鱼雷速度为2v0,即：由于，得，代入（1）式，得曲线y=y(x)，满足的微分方程为：为二阶微分方程，按照前述数值解法得到鱼雷追踪问题的数值解。,鱼雷追踪问题,下面求上述微分方程的解析解用降阶法。令y=p,y=p，代入上式得：分离变量两端积分代入得：,鱼雷追踪问题,积分，得代入y(0)=0，得故本问题的解析解为：可求得即当敌舰航行了nmile时在处被我方鱼雷击中。这段航行所需时间,计算机模拟,用计算机模拟实物系统，对实物系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测系统的行为效果，为决策提供信息，这一实验技术称为计算机模拟（又称仿真）。根据对象的特点，模拟可分为两类：确定性模拟和随机性模拟。本题采用确定性模拟。下面讲述本次实验的实验内容,五、实验习题,1、分别用欧拉（Euler）方法、后退的欧拉公式、梯形公式、改进的欧拉公式、龙格-库塔(Runge-Kutta)公式和亚当姆斯（Adams）内插外插公式，对方程取h=0.1，在区间0，1上计算，并与其解析解比较2、用Adams方法对方程取h=0.2，在区间0，1上计算。,实验习题,3、一敌舰在某海域沿正北方向航行时，我方战舰位于敌舰西南方向1nmile处，向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42n/min，鱼雷速度为敌舰速度的两倍。试求敌舰航行多远时被鱼雷击中？（要求：建立模型并给出解析解，数值求解，计算机模拟该追踪过程）,鱼雷追踪问题二,1、建立模型设敌舰速度v0,追击曲线y=y(x)，t时刻，鱼雷位置P(x,y)，敌舰在Q处，由于鱼雷速度方向始终指向敌舰，故有或两边对x求导,鱼雷追踪问题二,鱼雷追踪问题,即：（1）鱼雷速度为2v0,即：由于，得，代入（1）式，得曲线y=y(x)，满足的微分方程为：为二阶微分方程，按照前述数值解法得到鱼雷追踪问题的数值解。,鱼雷追踪问题二,下面求上述微分方程的解析解用降阶法。令y=p,y=p，代入上式得：分离变量两端积分代入得：,鱼雷追踪问题二,鱼雷追踪问题（三）,一敌舰在某海域沿东北方向航行时，我方战舰位于敌舰正西方向1nmile处，向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为