华东师范数学分析--一致收敛

CH12:数列un,un,只与n有关,un(x),与n与xE有关,函数项级数：,函数项级数收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有着重要的地位.,CH13函数列、函数项级数,1一致收敛性,三、函数项级数的一致收敛判别法,一、函数列及其一致收敛性,二、函数项级数及其一致收敛性,数项级数:,函数列un(x),一、函数列及其一致收敛性,是定义在同一数集E上的函数列,即xE,定义:E上的函数列:,定义:函数列fn(x)在点x0,数列,收敛,若,x0为函数列fn(x)的收敛点,发散,发散,收敛，,fn(x)在数集D上收敛：,收敛,函数列fn(x)的极限函数：,函数列fn(x)收敛域：,=f的定义域,证一：,收敛域为（-1，1,极限函数为,证二：,fn(x)在(-1,1上收敛,fn(x)在(-1,1上收敛,fn(x)收敛域是(-1,1,且极限是,fn(x)发散,fn(-1)发散,fn(x)在(-1,1外发散,例2,收敛域和极限函数。,解一：,收敛域为,极限函数为f(x)=0.,解二：,注对于函数列,仅讨论在哪些点上收敛是远远不够的，,重要的是:极限函数f(x)与函数列fn(x)间的解析性关系.,？,？,？,如:,为此对fn(x)在D上的收敛性提出更高的要求才行.,定义1,注1：,注2：,例2中的函数列,是一致收敛的,解：,函数列,P35Ex2,定义1,对于序号大于,与,状区域之内.,函数列fn(x)在D上不一致收敛于f:,定义1,例1中,解：,若函数列,只要,之间成的带状区域内，,定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则),fn(x)在D上一致收敛,证必要性,函数列fn(x)一致收敛性判断,充分性若,fn(x)收敛,设极限函数为f(x),xD,对xD,由数列收敛柯西准则，,由一致收敛定义知,根据一致收敛定义可推出下述定理:,定理13.2,证必要性,对0,不依赖于x的正整数N，当nN时,有,函数列一致收敛的判别:,注:柯西准则的特点:不需要知道极限函数,只根据函数,列本身的特性来判断函数列是否一致收敛,而余式准则需要知道极限函数,但使用较为方便.,例2:,柯西准则,余式准则,证:,例3定义在0,1上的函数列,P35Ex1(3)P42Ex1(2),余式准则：,分析:为了使用余项准则,首先求极限函数f(x).,为最大值点.,解,图134,对不含原点的区间,(见图13-4),在该区间上一致收敛于零.,【小结】,1.定义:函数列fn(x)在点x0收敛:,数列fn(x0)收敛，,函数列fn(x)的收敛域：,【作业】P35E1(1)(2)(3)(5);2,称为定义在E上的函数项级数,定义：,二、函数项级数及其一致收敛性,为函数项级数un(x)的部分和函数列.,即,收敛,则称级数un(x)在点x0收敛,x0为级数的收敛点.,若级数un(x0)发散,则称级数un(x)在点x0发散.,若D为级数un(x)全体收敛点的集合,这时就称,D为级数un(x)的收敛域.,称S(x)为级数un(x)的和函数,D-R,x,-S(x),并记作,即,函数项级数un(x)收敛性,和函数列Sn(x)收敛性.,例5,定义2,函数项级数un(x)一致收敛性Sn(x)的一致收敛性,函数列的一致收敛性定理函数项级数有关的定理.,1.一致收敛的柯西准则,一致收敛必要条件,2.余项法则,函数项级数一致收敛的判断定理,定理13.3(一致收敛的柯西准则),un(x)在D上一致收敛对0,NN+,当nN,或,特别地,当p=1时,得,推论(函数项级数一致收敛必要条件),定理13.4(余项法则),xD,pN+时，有,P35-36E4;5;7;8(1)(2)(6),定理13.4(余项法则),注当和函数容易求出时,余项准则是比较好用的一种判别方法.,P35-36E3(2)(5)(6);8(3);9,函数项级数的一致收敛性判别法：根据定义、柯西,准则、余项准则。另外,还可以根据级数一般项的某些,特性来判别.,定理13.5(Weierstrass判别法,证,由函数项级数一致收敛的柯西准则,知,un(x)在D上一致收敛.,或优级数/M-判别法),例7函数项级数,定理13.5(魏尔斯特拉斯判别法,或优级数/M-判别法),证,u1(t)在a,b上可积,存在M0,使得,由数学归纳法,由优级数判别法知,un+1(x)在a,b上一致收敛,P35E3(1)(3)(4);6,阿贝尔引理:,(ch12数项级数收敛)阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.,函数项级数一致收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.,xI上的函数项级数:,定理13.6(阿贝耳判别法),和正整数n,M0,使得,级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.,证,又由(ii),(iii)及阿贝耳引理得,由函数项级数一致收敛性的柯西准则,得,un(x)vn(x)在I上一致收敛.,例8函数项级数,在0,1上一致收敛.,un(x)在0,1上一致收敛，,vn(x)在0,1上单调增,由阿贝耳判别法,得:级数在0,1上一致收敛,且一致有界,定理13.7(狄利克雷判别法)设,在I上一致有界;,级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.,证由(i),M0,对一切xI,有,对pN+,对xI,由上、(ii)及阿贝耳引理得,由一致收敛性的柯西准则,un(x)vn(x)在I上一致收敛.,由CH123(21)式,在,2-上有,例9若数列单调且收敛于零,则级数,证:令,由狄利克雷判别法知,ancosnx在,2上一致收敛,注例9中,只要an单调且收敛于零,ancosnx就在不包含,又an单调且收敛于零,P36E8(4)(5),【小结】,1.定义