工程力学-93弯曲变形

主讲：谭宁副教授办公室：教1楼北305,工程力学,2,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,刚度条件与提高刚度的措施,梁的基本变形微分方程、直接积分法,弯曲应变能,斜弯曲,3,弯曲内力在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。弯曲变形在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,4,转角,横截面绕中性轴转过的角度。,y,挠度y,横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。,x,因x很微小，往往忽略。,梁的挠度y，横截面的转角。,度量梁变形的参数-,挠曲线：梁变形后的轴线，y(x)。,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,5,挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条光滑连续曲线，这条曲线称为挠曲线。,M,弯曲后梁的轴线（挠曲线）,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,6,MABMCD0,MBCconst,答案D,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,7,FA0FB0,MCDconst,答案D,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,8,MBDconst,答案C,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,9,y=y（x）挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。,=(x)转角方程。由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。,挠度和转角的关系,挠曲线上任一点的斜率都可以足够精确的表示该点处横截面的转角。,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,10,1.研究梁的挠度和转角的目的：,主要目的之一就是对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,2.求梁位移的基本方法,根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程和转角方程。,11,由挠曲线的曲率,挠曲线近似微分方程,转角近似微分方程,挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“FQ”以及对变形的影响。,使用条件：弹性范围内工作的细长梁。,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,梁的基本变形微分方程,12,积分法计算梁的变形,步骤：（EI为常量）,1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,13,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,连续条件：,边界条件：,（1）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。,（2）固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。,（3）在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。,积分法计算梁的变形,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,14,4、确定挠曲线方程和转角方程。,5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。,积分法计算梁的变形,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,弹簧变形,（4）弹簧支撑,15,例1：用积分法求梁挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,16,挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数,边界条件,连续条件,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,17,挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数.,边界条件,连续条件,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,18,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数.,边界条件,连续条件,19,全梁仅一个挠曲线方程，共有两个积分常数,边界条件,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,20,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数.,边界条件,连续条件,21,例1：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(EI=常数）。,解：a)写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,c)应用位移边界条件求积分常数,d)确定挠曲线、转角方程,e)自由端的挠度及转角,积分法计算梁的变形,梁的基本变形微分方程、直接积分法,9(3).弯曲变形,22,二、应用条件：弹性、小变形。,一、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,三、叠加法的特征：1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。,叠加法计算梁的变形,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,23,例2：梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。求梁的挠度方程。,叠加法计算梁的变形,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,解：弯矩方程,以x截面左半段为研究对象,24,弯矩的叠加原理-梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。,叠加法计算梁的变形,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,当梁在简单载荷作用下的挠度、转角有变形表可查时；应用非常方便。,25,9(3).弯曲变形,26,9(3).弯曲变形,27,例3：简支梁上在均布载荷q及中点处集中载荷F的作用下，用叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.,叠加法计算梁的变形,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,28,解、a)载荷分解如图,b)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,=,c)叠加,叠加法计算梁的变形,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,29,例4：AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.,将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半。,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,30,将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半,查表得,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,31,例5:怎样用叠加法确定C和wC?,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,32,33,34,例6：图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常量k.,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,35,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,解：C截面弯矩为,根据静力平衡关系，可得到,36,C处挠度等于弹簧变形。,叠加法求挠度,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,37,结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明,+,=,9(3).弯曲变形,38,=,简单超静定梁,静定问题,二个平衡方程，三个未知数。,超静定问题,去掉多余约束而成为形式上的静定结构基本静定基。,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,39,1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）,2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程,3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力,4、计算梁的内力、应力、变形。,解超静定的步骤(静力、几何、物理条件),简单超静定梁,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,40,解：1)研究对象，AB梁，受力分析：,)物理条件,)变形协调方程,)选用静定基，去支座,联立求解：,简单超静定梁,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,41,例:图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力。,简单超静定梁,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,42,1、选择基本静定梁。,解：,2、列出变形协调条件。,（1）,简单超静定梁,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,43,代入（1）：,简单超静定梁,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,44,思考：求下图所示超静定梁A、B处的约束力及qB、yC，并画出该梁的剪力图和弯矩图。,9(3).弯曲变形,查表叠加法、简单超静定梁,45,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；/L称为许用挠跨比。,校核刚度;设计截面尺寸；确定外载荷。,二、刚度计算,刚度条件与提高刚度的措施,9(3).弯曲变形,46,例：轴承许用转角=0.05rad，F=20kN，a=200mm，=60MPa，E=200GPa，确定轴的直径d。,解:(1)强度计算,刚度条件与提高刚度的措施,9(3).弯曲变形,47,(2)刚度计算,(3)最终取d=77mm,刚度条件与提高刚度的措施,9(3).弯曲变形,48,1、增大梁的抗弯刚度（EI）,2、调整跨长和改变结构,提高梁的刚度的措施,刚度条件与提高刚度的措施,9(3).弯曲变形,（1）减小弯矩、增大截面惯性矩、等强度梁,（2）减小梁的跨度效果明显；超静定梁可明显提高梁的刚度,（3）增加材料的弹性模量,49,刚度条件与提高刚度的措施,9(3).弯曲变形,考虑极限情况：,50,刚度条件与提高刚度的措施,9(3).弯曲变形,51,刚度条件与提高刚度的措施,9(3).弯曲变形,52,弯曲应变能,9(3).弯曲变形,53,外力功：,弯曲应变能,9(3).弯曲变形,根据应变能的大小等于外力偶所作的功，则有,54,弯曲应变能,9(3).弯曲变形,在线弹性范围内：对于纯弯曲梁,55,工程中h/l比值小于1/10时，剪切应变能较小，可忽略。横力弯曲情况下：,对于横力弯曲：由弯曲变形与剪切变形可以得到弯曲应变能和剪切应变能。,弯曲应变能,9(3).弯曲变形,56,当外力作用面与梁的纵向对称平面成某一夹角时,则弯曲变形后,梁的轴线不在外力作用面内.,9(3).弯曲变形,斜弯曲,57,xz平面内的平面弯曲,xy平