常微分方程—可降阶、解的结构

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第8章常微分方程,高等数学A,8.3几种高阶微分方程的解法,8.3.1可降阶的高阶微分方程8.3.2二阶线性微分方程解的结构,8.3几种高阶微分方程的解法,8.3.1可降阶的高阶微分方程,习例1-2,习例3-4,习例5-6,8.3.2二阶线性微分方程,函数组的线性相关和线性无关,二阶齐次线性微分方程解的结构,二阶非齐次线性微分方程解的结构,习例8-10,可降阶微分方程与二阶线性方程,模型1质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动,设力F,随着时间的增大,此力F均匀地减小,直到t=T时F(T)=0.,如果开始时质点在原点,且初速度为0,求质点的运动规律.,解:据题意有,仅是时间t的函数:F=F(t).在开始时刻t=0时,对方程两边积分,得,一、可降阶的高阶微分方程,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,1、型的微分方程,例1.,例2.,例1.,解:,例,解,模型2.,作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,解:取坐标系如图.考察最低点A到任意点M(x,y)弧段的受力情况:,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀柔软的绳索，两端固定,绳索仅受重力,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,2、,例3.求解,例.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点A到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,3、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例.求解,例.解初值问题,例.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,例.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,模型3.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻t物体位移为x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(胡克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,二、二阶线性微分方程,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,n阶线性微分方程的一般形式为,模型3的两个方程的共性,(二阶线性微分方程),可归结为同一形式:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,定义8.3.1,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,1.函数组的线性相关和线性无关,结论,例.,证,2.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构,定理8.3.1叠加原理,的解，则它们的线性组合,也是方程(2)的解，,证,的解，则它们的线性组合,也是方程(2)的解。,在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？,定理8.3.2,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,则,3.线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理8.3.3,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而也是通解.,定理8.3.4,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理8.3.3和定理8.3.4均可推广到n阶线性非齐次方程.,定理8.3.5,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,的一个特解。,定理8.3.6,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),例.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,