常微分方程Ch1

常微分方程,周正新,Ch1.序言,一.微分方程的产生,众所周知，微积分是十七世纪下半叶（1665-1666）由牛顿，莱布尼兹等人创建的，那么，在此之前，人们要研究客观世界中一些物体的运动规律，只能采用初等数学的方法，由于初等数学的局限性，也就只能解决一些物体作匀速，匀变速等理想运动的规律.十七世纪以后，也就是微积分这门数学分支创建以后，人们如获至宝。科学家们就纷纷借助这一最新数学工具来解决作复杂运动的物体的运动规律，从此就可解决变速变加速等运动规律。但是在解决这些问题的过程中,得到了一些变量与未知函数及其微分的方程式微分方程.因此为了解决实际问题的需要,就必须对这些微分方程进行深入研究,从而产生了一门新的数学分支微分方程.,二.常微分方程模型,例1.RLE电路,如右图:已知:,求:,解:由基尔霍夫定律:在闭合电,路中各用电器上的电压降之和等于零.,例2.RLC电路,如右图,已知:,求:,解:与上题同理得:,又,则得,例3.数学摆,数学摆是一质量为m的质点系于一根长为L的细线上,在重力的作用下,在垂直于地面的平面上作圆周运动,试,求摆锤的运动方程.,解:设在t时刻摆锤所在位置与平衡位,置的夹角为,该角逆时针为正,顺时针,为负.建立坐标系如右.设质点M沿圆,法向力平衡,切向由牛顿第二运动定律得,即,若与运动方向相反有一阻力,则(2)变为,若与运动方向相同有一外力,作用于它,则(2)变为,若摆锤作微小振动,即,则方程(3)变为,例4.人口模型,英国人口统计学家Malthus在担任牧师期间,查看了当,地教堂100多年来人口出生的统计资料,发现了这样一,个现象:人口出生率是一个常数.他1798年发表在一书,其中提出了闻名于世的Malthus人口模型.,假设,在人口自然增长的过程中,净相对增长率(单为时,间内人口的净增长数与人口之比)是常数,记为r(生命系数),在,内人口数量,的增长量为,由此得,若,当人口总数不大时,生存空间,资源等极充沛时,人口指,数增长是有可能的.但当人口总数非常大时,指数增长的,线性模型则不能反映这样一个事实:环境所提供的条件,只能供养一定数量的人口生活,因此Malthus模型在N(t),很大时是不合理的.,荷兰生物学家Verhulst引入常数,(环境最大容纳量),表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数,并假设,净相对增长率为,即净相对增长率随N(t)的增,加而减少,当,时,净增长率趣于零.此时,人口增,长的方程为Logistic模型,人口学家估计人口自然增长率为,1960年统,计得世界人口为29.8亿,增长率为1.85%,由Logistic模型,得,即人口最大容纳量为82.3亿.这与世界,人口在二十世纪七十年代为40亿左右时增长率最大,的统计结果相符。,例5.Lorenz方程,气象学家Lorenz在美国天气预报中心工作,进行数值,天气预报.他在20世纪60年代开始用计算机,曾简化气象,方程组,将大气对流现象化为14个变量,最后减到12个变,量,他对12个变量的微分方程组用数字计算机进行计算,一小时能计算两个月的天气变化.一次偶然离开后回来时,发现计算结果突然变化,重新输入计算结果又不同,反复,检查原因,原来是重新输入数据的小数尾数误差所引起,从而发现方程的解对初值的敏感的现象.后来他重新处理,得到仅含三个变元的数学模型,其中,虽然该方程右边很简单,但其解对初值却异常敏感,由此,产生了微分方程Chaos混沌现象的第一例.,电路:,人口Malthusmodle,电路,数学摆的振动,三.基本概念,1.常微分方程与偏微分方程,联系着自变量未知函数及其微分的关系式-微分方程;,自变量个数为一的微分方程常微分方程;,自变量个数大于一的微分方程偏微分方程;,例如:,2.微分方程的阶,方程中出现的未知元对自变量最高阶导数的阶数,称为该微分方程的阶.,n阶常微分方程的一般式为,其中,为已知函数,且含,3.线性和非线性方程,若方程(*)中F是关于,的一次有理整式,此时,的方程(*)称为线性方程,否则称为非线性方程.,n阶线性方程的标准式为,其中,为已知函数.,4.解与隐式解,若,满足,则称,为方程(*)的解.若关系式,所确定的,隐函数,为(*)的解,则称,为(*)的隐式解.,例如,为方程,的显式解,为该方程的隐式解.,5.通解与特解,称方程(*)含有n个独立的任意常数,的解,为方程(*)的通解.,所谓独立,即指,方程(*)满足特定条件的解称为特解.,方程(*)的特定条件通常指初始条件,即,求方程满足初始条件的问题称为初值问题或Cauchy,问题.,例6.验证,为方程,的通解,并求满足,的特解.这里,为任意常数.,解:,则,从而,为方程的解.,又,从而,为通解.,又有初始条件得,则所求特解为,6.积分曲线与方向场,一阶微分方程,的解,在xoy平,面上所表示的曲线称为该方程的积分曲线.,通解,表示一族积分曲线,满足条件,的特解,为过点,的积分曲线.,用,在oxy平面某区域D上定义过各点的小线段,的斜率方向,这样的区域D称为方程,所定义,的方向场.方向场中方向相同的曲线称为等斜线或等,倾斜线.,四.微分方程的发展史,常微分方程产生是在微积分产生以后,即1667年.,初期:用初等方法求解Leibniz,Euler,Bernoulli.,Riccati,到了年求解的热潮被Liouville中断，他,证明了Riccati方程在一般情况下是没有初等解法的，即,它的解是不能用初等函数来表示的,后来，由于Cauchy问题的提出，求微分方程的通解问,题转化为求特解Bessel,Legendre.,19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究,常微分方程的大范围性态，从而使常微分方程的研究从,“求定解问题”转化为“求所有解”的新时代,Poincare创立了微分方程定性理论，Lyapunov提出了,运动稳定性理论Hilbert在第十四届世界数学家大会上，,提出了世纪的个数学问题，其中第问题就是,关于微分方程解的几何性态问题，由此大大促进了定性,理论的发展另外在世纪初，Birkhoff在动力系统方,面开劈了一个新的领域，Arnold,Smale使得动力系统的,研究异常活跃,世纪六七十年代以后，随着计算机技术的发展，,迎来了新的时期，从“求所有解”又转入“求特殊解”时代，,发现了新性质的特殊解和方程，如混沌，奇异吸引子，,孤立子等世纪六十年代，Lorenz方程得出了解对,初值的敏感性，导致了混沌现象的发现并引起了科学界,的巨大震动Smale称之为“利用Newton定律推翻了,Newton决定论”,多年的实践证明，微分方程的应用是非常广泛的，上,上至人造卫星上天，卫星运行轨道的计算，下至环境污,染的控制，人口的控制，传染疾病的控制，以及现今,最时髦的股市行情的预测与控制等。总之，微分方程,是解决实际中应用最广的一门数学分支。常微分方程,的研究还与其它学科或领域的结合而出现各钟新的研究,分支，如控制论，种群生态学，分支理论，泛函微分方,程，随机微分方程等等,“年来分析是数学里首要的分支，而微分方程,又是分析的心脏这是初等微积分的天然后继课，又,是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它的产,生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理,论的根源”Simmons曾如此评价微分方程在数学中的地位,参考文献常微分方程讲义，叶彦谦；常微分方程教程，丁同仁等；常微分方程，蔡燧林。学习要求熟练掌握基本方法；深刻理解基本理论。,课后作业：P26-28,1(1,3,5),4(1,3,5),8(1,3,5).,例5.传染病模型,传染病(瘟疫)经常在世界各地流行,如霍乱,天花,艾滋病,SARS,H5N1病毒(高致病禽流感病毒)等,建立传,染病的数学模型,分析其变化规律,防止其蔓延是一项艰巨,的任务.这里仅就一般的传染规律讨论传染病的数学模型.,假设传染病传播期间其地区总人数不变,为常数n,开,始时染病人数为,在t时刻的健康人数为,染病人数,数为,则有,设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人,数成正比,比例系数为,称其为传染系数,于是有,再由(5)得,这个模型称为SI模型,即易感染者(Susceptible)和已感染,者(Infective)模型.,对无免疫性的传染病如痢疾,伤风等,病人治愈后再次,被感染.设单位时间治愈率为,则方程(6)变为,对有很强免疫性的传染病如天花,流感等,病人治愈后不,会再被感染.设在时刻t的愈后免疫人数为r(t),称为移出者,而治愈率l为常数,即,此时(5)(6)变为,由上三式得,SIR模型曾被kermack等用于检验本世纪初在印度孟买,发生的一次温疫,其理论曲线与实际数据相当吻合.,例6.两生物种群生态模型,意大利生物学家DAncona发现某海港在第一次世界,大战期间捕鱼量减少而捕获的捕食鱼占的百分比却急剧,增加,为解释这种现象,意大利数学家Volterra建立了一个,关于捕食鱼与被捕