常微分方程第一章课件

第一章绪论,1.1微分方程的例子1.2微分方程的基本概念1.3微分方程论的问题,在自然科学和工程技术中许多现象都可以用微分方程作为其数学模型描述它。下面我们介绍有关方面的几个实例。,1.1微分方程的例子,例一：一容器在开始时盛有盐水100升，其中含净盐10千克。现以每分钟3升的速率注入清水，同时以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出。容器中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀。求过程开始后一小时溶液的含盐量。解：设在过程开始后t分钟容器内含盐千克，我们求x与t的函数关系式。因为在t时刻，容器内的溶液为故此时溶液的浓度为,考察从,到,这一小段时间。,在这段时间内，放出的溶液为2,升，因为时间短，浓度改变很小，所以可以认为浓度,保持不变，于是放出的溶液中含盐量微元,于是得到微分方程为,把它改写为,两边积分得,故有,由题意知道初值条件是,，将其代入上式得,，因此得到,与,的函数关系式,因此可知，在过程开始后一小时，亦即当,容器内溶液的含盐量为,返回,例2R-L-C电路R-L-C电路是由电阻R、电感L、电容C和电源e(t)串联组成的电路，其中R，L及C为常数，电源电动势E=e(t)是时间的已知函数。试建立当开关K合上后电路中的电流强度随时间变化关系。,解当开关合上后，电路中经过电感、电阻和电容设两极板间的电压为，电感电动势，电流强度为，即由基尔霍夫第二定律知微分此式则有,这就是开关合上后电路中电流随时间的变化规律。特别地，当电源电动势为常数，则方程变为,若电路中还不含电阻即，则方程变为,3单摆（力学模型）数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M，在重力mg的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，试确定摆的运动方程。,设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角的正方向。质点M沿圆周切向速度可以表示为。作用于质点M的重力mg将摆拉回平衡位置A。把重力mg分解为两个分量和，第一个分量沿着半径OM的方向，与线的拉力相抵消，它不会引起质点的速度的数值的改变。第二个分量沿着圆周的切线方向，它引起质点的速度的数值的改变。因为总是使质点M向着平衡位置A的方向运动，既当角为正时，向减少的方向运动；当角为负时，向增大的方向运动，所以的数值等于。因此，摆的运动方程是,即只研究摆的微小振动，既当比较小时的情况，我们可以取的近似值代入方程，这样得到微小振动时摆的运动方程如果我们假设摆是在粘性的介质中摆动，那末沿着摆的运动方向就存在一个与速度成比例的阻力。如果阻力系数是，则摆的运动方程变为,如果沿着摆的运动方向恒有一个外力作用于它，这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为当要确定摆的某一特定运动时，我们应该给出摆的初始状态这里代表摆的初始位置，代表摆的初始角速度。,返回,2微分方程的基本概念,1常微分方程与偏微分方程2.线性和非线性3解和隐式解（积分）4.通解、定解问题和特解5.驻定、非驻定方程组6.相空间，奇点和轨线7.一阶方程解的几何意义,返回,1常微分方程与偏微分方程,所谓微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式。如果在微分方程中，自变量只有一个，称这种方程为常微分方程；如果自变量的个数多于一个，两个或两个以上这样的微分方程称为偏微分方程。经常出现在实际问题中的微分方程有以下几种：,（Riccati方程）,（n阶Bessel方程）,(Laplace方程),(热传导方程),（波动方程）,其中前两个是常微分方程，后三个是偏微分方程。本书中我们着重研究常微分方程，为简单起见，今后将常微分方程简称为微分方程或方程。在微分方程中，必定含有不可缺少的项是未知函数关于自变量的导数，否则不为微分方程，其中出现的最高阶数称为该微分方程的阶数。一般n阶微分方程具有形式但在实际讨论中，常将其写成所谓的标准形式,返回,2.线性和非线性,若方程式（1.1）中的函数F关于,是一次有理整式，则称其为,阶线性微分方程，,不是线性方程的方程称为非线性方程。例如,为非线性方程。,它的一般形式为,返回,3解和隐式解（积分）,如果函数,代入方程(1.1)后，能使它变为恒等式，,为方程（1.1）的解。,则称函数,但有时却遇到所求方程的解无法写成显式，而关系式,决定的隐函数,是方程的解，则称,为方程(1.1)的隐式解。,这种隐式解也称为方程（1.1）的积分。,无论是显式解还是隐式解我们不加区分地称为方程的解。,如果在解的表达式中含有无法用初等函数表示的积分，我们仍然称它为函数的解。,返回,4.通解、定解问题和特解,返回,返回,5.微分方程组，驻定与非驻定方程组由两个或两个以上的常微分方程构成的方程组。如果右端不显含时间，如（1.2）称为驻定方程组。如果右端含时间，如（1.3）则称为非驻定方程组。,6.相空间，奇点和轨线对于系统（1.2），如果是它的解，在空间它表示一条曲线，此曲线称为（1.2）的一条积分曲线。将此曲线投影到平面得到的曲线称为其轨线。将时间作为参数，平面称为相平面，当维数高于2时称为相空间。使得的点称为（1.2）的奇点。,7.一阶方程解的几何意义,1积分曲线2.切线场,返回,例4等斜线是双曲线。特别当时双曲线退化为一对直线和。即在轴和轴上积分曲线有相同的切线方向。进一步