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12.1微分方程的基本概念,DifferentialEquations,例1,曲线上任意一点处的切线斜率等于该点的横坐标的平方，且曲线过原点，求曲线的方程。,解,设曲线方程为,（未知函数）,已知：,微分方程,一阶方程,初始条件,求,积分：,通解,将x=0,y=0代入通解，得：,C=0,所求曲线方程为：,特解,微分方程,的几何意义：方向场,的方向场（斜率场）,每一点对应于一个斜率：,斜率,斜率,如,通解,的几何意义：积分曲线,在横坐标相同的点处，,各积分曲线有平行的切线,积分曲线彼此“平行”，两两不相交,微分方程的通解代表一族曲线，称为方程的积分曲线,积分曲线,特解：,积分曲线两两不相交,经过原点只有唯一的积分曲线,积分曲线,例2（落体运动）在t=0时，物体位于s=10m处，物体的初速度v0=2m/sec（向下）设物体只受重力作用，求物体的运动规律。,解,设物体的运动规律为：,未知函数,由牛顿第二定律：,a是加速度。,由导数的物理意义：,重力加速度,微分方程,二阶方程,初始位置,初速度,初始条件,求,已知,积分：,再积分：,通解,将,代入上式,特解：,这就是物体的运动方程,微分方程：,含有未知函数的导数或微分的方程,常微分方程,偏微分方程：,differentialequation,ordinarydifferentialequation,partialdifferentialequation,方程的阶：,方程中未知函数的最高阶导数的阶数,theorderofadifferentialequation,一阶,二阶,五阶,方程的解：,满足微分方程的函数,thesolutionofadifferentialequation,例如,是方程,的解,是方程,的解,方程的通解：,n阶微分方程的含有n个独立任意常数的解,thegeneralsolution,例如,是方程,的通解,是方程,的通解,方程的特解：,没有任意常数的解,例如,是方程,的特解,是方程,的特解,通解中的任意常数可由初始条件确定：,验证：,是方程,解,
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