实变函数与泛函分析--可测函数课件

第二节叶果洛夫定理可测函数的一致收敛性,第四章可测函数,例：函数列fn(x)=xn,n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛,fn(x)=xn,一致收敛是函数列很重要的性质,能保证极限过程和一些运算的可交换性。但一般而言，收敛的函数列不一定一致收敛,然而是基本上(a.e.)一致收敛的（叶果洛夫定理）。,几乎处处收敛与一致收敛（叶果洛夫定理）,Th:设mE+，fn在E上可测，f几乎处处有限，,，则fn在E上a.e.一致收敛于f.,凡是满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”(a.e.)一致收敛的.于是在许多场合它提供了处理极限交换问题的有力工具.,另外显然fn(x)在上点点收敛于f(x)所以fn(x)在E上a.e.收敛于f(x),证明：由条件知,存在可测集使且fn(x)在En上一致收敛于f(x)，当然fn(x)在En上点点收敛于f(x),叶果洛夫定理的逆定理,第三节可测函数的构造,第四章可测函数,鲁津定理,Th.设f(x)为E上a.e.有限的可测函数,则使得m(E-F)且f(x)在F上连续。,（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数.,我们知道可测集上的连续函数一定是可测函数，但反之不一定，然而是“基本上”连续的.,鲁津定理是我们对可测函数的结果有了进一步的了解，揭露了可测函数与连续函数的关系.在应用上可通过它把有关的可测函数问题归结为连续函数问题，从而得以简化.,实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）,（2）任一可测函数差不多就是连续函数,（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列,若f(x)为上几乎处处有限的可测函数，,使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)0，存在闭集，使且f(x)在上连续，则f(x)是E上的可测函数.,(作业P94.8)鲁津定理的逆定理,从而f(x)在上可测，进一步f(x)在上可测。,证明：由条件知，存在闭集使且f(x)在En连续，当然f(x)在En上可测，,第四节可测函数的收敛性依测度收敛,第四章可测函数,函数列的几种收敛,一致收敛:,注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制,点点收敛:记作,几乎处处收敛:记作(almosteverywhere）,即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛,(4)几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,(5)依测度收敛:记作,注：从定义可看出，几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零,不依测度收敛,(5)依测度收敛,几种收敛的区别,说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1,（1）处处收敛但不依测度收敛,在R+上处处收敛于f(x)=1,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外fn不几乎一致收敛于1,（2）依测度收敛但不处处收敛,3.几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）,TH1.设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，,Riesz定理,若于E,则必有fn的子列fnk，使得,例3.对E=R1上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x)a.e.于E