微分方程课件 (3)

1,2020年5月30日星期六,在自然科学、生物科学和经济与管理科学的许多实际问题中，常常需要寻求某些变量之间的函数关系。其中大多数函数关系不能由问题的实际意义直接确定，这时常根据实际需要或已知条件建立数学模型。微分方程就是最常用的数学模型之一。这一章介绍微分方程和差分方程的一些基本知识，包括它们的概念与解法。我们学习的重点是微分方程和差分方程的求解。,2,2020年5月30日星期六,7.1从新产品销售模型谈起在实际生活中有许多量，随时间的变化率正比于它本身的大小，如银行的存款按一定的利率增加；世界的人口按照一定的增长率增长等等。下面以新产品销售模型为例，进行微分方程模型的建立。经济学家和社会学家们一直关注新产品的销售速度问题，希望能建立一个数学模型来描述它，并用来指导生产。记t时已售出的产品数为x(t)。假设该产品使用方便，这些正在使用的新产品实际上起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客，使每一个新产品实际上在单位时间内平均吸引r个顾客，由此得到下列关系式：,3,2020年5月30日星期六,把它变形写成微分的形式：,两边积分得：,即,若x(0)=x0，则可得销售函数为,积分结果为：,4,2020年5月30日星期六,当通过努力已有x0的产品投入使用，这时函数x(t)=x0ert使在开始的阶段能较好地反映真实的销售情况。但这个函数有缺陷：取t=0表示新产品诞生的时刻，即x(0)=0，这时销售函数为x(t)=0，显然不符合事实。原因是我们只考虑了实物广告的作用，而忽略了厂家可以通过其它方式宣传新产品，从而打开销路的可能性。在x(t)=x0ert中，若令t+，则有x(t)+，这也与事实不符。事实上，x(t)应该有一个上界。设需求量的上界为K，则尚未使用新产品的户数为K-x(t)。由统计规律可知，,5,2020年5月30日星期六,两边积分得：,写成显函数为,若x(0)=x0，则可得销售函数为,其图像称为增长曲线或Logistic曲线。,6,2020年5月30日星期六,直接求导是麻烦的，我们转而考虑,7,2020年5月30日星期六,由以上讨论可知，当销售量小于最大需求量的一半时，销售速度越来越大；当销售量大于最大需求量的一半时，销售速度越来越小。而当销售量等于最大需求量的一半时，销售速度最大，产品最畅销。国外学者普遍认为，对于某一新产品，当有3080的用户采用时，正是该产品大批量生产的合适期。当然，还应注意在初期可小批量生产并辅以广告宣传，而后期则应适时转产或开发新产品，这样可以使厂家获得较高的经济效益。在经济生活中，常需要根据经济规律写出经济函数的导数满足的等式，由此等式进一步讨论经济函数的表达式、性质。这样的等式就是所谓的微分方程。,8,2020年5月30日星期六,定义1含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)的函数方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程。例如：下列微分方程,中是常微分方程，是偏微分方程。,一、微分方程的定义,7.2微分方程的基本概念,9,2020年5月30日星期六,是阶微分方程。,是阶微分方程；,本章主要研究常微分方程。定义2微分方程中所含未知函数的导数(或微分)的最高阶数称为微分方程的阶。例如,n阶常微分方程的一般形式为：,2,1,10,2020年5月30日星期六,定义若在n阶常微分方程F(x,y,y,y(n)=0中，函数F是x、y、y、y(n)的线性函数，则称此方程为线性(常)微分方程。不是线性微分方程的微分方程称为非线性(常)微分方程。线性微分方程的一般形式为：y(n)+a1(x)y(n-1)+an-1(x)y+an(x)y=f(x)其中ai(x)、f(x)为已知。例如：下列微分方程,中是线性微分方程，是非线性微分方程。,11,2020年5月30日星期六,对一般的常微分方程，下面定义它的解。定义1若函数y=f(x)满足F(x,y,y,y(n)=0，即F(x,f(x),f(x),f(n)(x)=0则称f(x)为此微分方程的(显式)解。若由(x,y)=0确定的隐函数是微分方程的解，则称之为微分方程的隐式解。例如：可以验证,二、微分方程的解,12,2020年5月30日星期六,一般来说，微分方程的的解有无穷多个，即方程的解中含有任意常数。对一般的n阶微分方程，要写出它的所有的解需用n个常数.,定义如果含有n个相互独立的任意常数,或,13,2020年5月30日星期六,定解条件,初始条件,定解问题,初值问题,即函数及其导数在某一点的值,14,2020年5月30日星期六,7.3一阶微分方程下面主要讨论如何求微分方程的通解。最基本的微分方程是一阶微分方程，它的一般形式为F(x,y,y)=0若从中能解出y，方程可写成形式y=f(x,y)或写成微分的形式：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0其中F、f、M、N为已知函数。为简便起见，以下讨论时总假设微分方程能写成后二种形式。而给出的初始条件为y(x0)=y0或(x0,y0)=0,15,2020年5月30日星期六,一、可分离变量方程,定义形如y=f(x)g(y)或M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0的方程称为可分离变量方程。1619年Leibniz求出可分离变量方程y=f(x)g(y)的解，他所用的方法就是下面介绍的分离变量法。所谓分离变量法，就是把含自变量x的式子放在方程的一边，把含因变量y的式子放在方程的另一边，然后积分。如对y=f(x)g(y)，经分离变量得,通解为,16,2020年5月30日星期六,定理微分方程y=f(x)g(y)或M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0的通解分别为：,注对第一个方程，若y=y0满足g(y0)=0，则常量函数y=y0也是微分方程y=f(x)g(y)的一个特解。,例1求解下列微分方程：,解:分离变量得,两边积分得,通解为,另外，常量函数y=0也是它的一个特解。,17,2020年5月30日星期六,例2求解微分方程,解,分离变量得,两端积分得,18,2020年5月30日星期六,练习求解下列微分方程：y=2x(y+3)；y-xy=a(y2+y)。,答案ln(y+3)=x2+C；(a+x)(1-ay)=Cy。,19,2020年5月30日星期六,20,2020年5月30日星期六,二、齐次方程可分离变量方程是最简单的一种一阶微分方程。对于比较复杂的一阶微分方程，可以通过一些技巧化为分离变量方程的形式进行求解。我们首先讨论齐次方程：定义形如的方程称为齐次方程。解法,作变量代换,代入原式,21,2020年5月30日星期六,可分离变量的方程,例4求解下列微分方程：,22,2020年5月30日星期六,这里要注意x0这时特征方程有两个不同的实根r1、r2。显然不是常数(与x有关)，因此方程的通解为进行求解时，先求出特征方程的解，直接代入上式即可得通解。例求微分方程4y+4y-3y=0的通解。练习求微分方程y-4y+3y=0的通解。答案y=C1ex+C2e3x,解题过程,47,2020年5月30日星期六,2、=a2-4b=0这时特征方程有两个相同的实根r1=r2(记为r0)，只能对应原方程的一个解y1=xer0 x，还需要再找出另外一个(与y1线性无关的)解。可以证明，y2=xer0 x也是原方程的解。显然y2与y1线性无关，因此齐次微分方程y+ay+by=0的通解为例求微分方程y+6y+9y=0的通解。练习求微分方程4y-4y+y=0的通解。答案,解题过程,48,2020年5月30日星期六,3、=a2-4b0这时特征方程没有实根，但有两个复根r=i，其中i为虚数单位：i2=-1。因此得到方程的两个特解为我们需要求出的是实函数解，为此利用前面的定理，可知也是方程的特解。,关于复数,49,2020年5月30日星期六,显然因此这两个解线性无关。由此得方程的通解可写为具体求方程的通解时，先根据公式求、(也可以通过对特征方程r2+ar+b=0进行配方的方式得到)，再代入写出通解。例求y+4y+5y=0方程的通解。练习求方程y+4y=0的通解。答案y=C1cos2x+C2sin2x,解题过程,50,2020年5月30日星期六,二、二阶常系数非齐次线性方程的求解与一阶线性方程的情况类似，非齐次线性方程的求解可利用其齐次方程的结果。为此，首先讨论齐次与非齐次方程的解的关系。对二阶常系数非齐次方程y+ay+by=f(x)其对应的齐次方程为y+ay+by=0直接代入容易验证下列结果：定理1若y是的解，Y是的解，则y+Y也是的解。定理2若y1、y2是的解，则y1-y2是的解。下面利用这两个结果来分析齐次方程的解的结构。,51,2020年5月30日星期六,由定理1可知，若y*是非齐次线性方程y+ay+by=f(x)的一个特解，C1y1+C2y2为其对应的齐次线性方程y+ay+by=0的(通)解，则y*+C1y1+C2y2也是非齐次线性方程y+ay+by=f(x)的解。由定理2可知，若y是非齐次线性方程y+ay+by=f(x)的一个解，则y-y*必是其对应的齐次线性方程的解，即存在C1、C2，使y-y*=C1y1+C2y2。结论若y*是非齐次线性方程y+ay+by=f(x)的一个特解，C1y1+C2y2为其对应的齐次线性方程的通解，则非齐次线性方程的通解为y=y*+C1y1+C2y2,52,2020年5月30日星期六,齐次线性方程的通解我们已经能够求出，下面讨论非齐次方程的特解的求法。一般地，常系数非齐次线性方程y+ay+by=f(x)的特解是通过待定系数法求得的。由于特解形式与f(x)有关，需要分情况进行讨论。f(x)=Pm(x)=a0 xm+a1xm-1+am当b=0时，令z=y，原方程为一阶线性方程用常数变易法或公式法可求解。当b0时，这时特解的形式为y*=b0 xm+b1xm-1+bm代入原方程得到b0、b1、bm。例求方程y-3y+2y=2x2-2x的通解。,解题过程,53,2020年5月30日星期六,f(x)=Pm(x)ex=(a0 xm+a1xm-1+am)ex这时需对进行讨论，看它是否特征方程的根。1、不是特征方程r2+ar+b=0的根这时特解的形式为y*=(b0 xm+b1xm-1+bm)ex。例求方程4y-12y+9y=ex的通解。2、是特征方程r2+ar+b=0的单根这时按前面的特解形式代入无法求出系数，应改设特解的形式为y*=x(b0 xm+b1xm-1+bm)ex。例求方程y+2y-3y=16xex的通解。3、是特征方程r2+ar+b=0的重根这时应改设特解的形式为y*=x2(b0 xm+b1xm-1+bm)ex。例求方程y-2y+y=12xex的通解,解题过程,解题过程,解题过程,54,2020年5月30日星期六,f(x)=a1cosx+a2sinx这时仍需要对i进行讨论，同样是看它是不是特征方程的根。1、i不是特征方程r2+ar+b=0的根这时特解的形式为y*=Acosx+Bsinx(注意：即使方程中只出现cosx和sinx中的一个，设特解时也必须同时出现cosx和sinx)。2、i是特征方程r2+ar+b=0的根这时按前面的特解形式代入无法求出系数，应改设特解的形式为y*=x(Acosx+Bsinx)。例求方程y+y=cosx的通解。,解题过程,55,2020年5月30日星期六,f(x)=(a1cosx+a2sinx)ex这时需要对i进行讨论，同样是看它是不是特征方程的根。1、i不是特征方程r2+ar+b=0的根这时特解的形式为y*=(Acosx+Bsinx)ex。2、i是特征方程r2+ar+b=0的根这时特解的形式为y*=x(Acosx+Bsinx)ex。例求方程y-2y+5y=6exsinx的通解。对于含有多项式、指数函数、正弦与余弦的相互乘积的其他形式，可参照上面的讨论写出特解的形式。下面总结一下带有这些特殊形式的f(x)的二阶常系数非齐次线性微分方程的求解步骤。,解题过程,56,2020年5月30日星期六,总结二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay+by=(a0 xm+a1xm-1+am)ex(b1cosx+b2sinx)的求解步骤：写出原方程对应齐次方程及其特征方程；求特征方程的根，写出对应的齐次方程的通解y=C1y1+C2y2；若+i为特征方程的k重根(k=0、1或2)，则设原方程的特解为y*=xk(A0 xm+A1xm-1+Am)cosx+(B0 xm+B1xm-1+Bm)sinxex代入原方程，求出Ai、Bj。原方程的通解为y=C1y1+C2y2+y*,57,2020年5月30日星期六,58,2020年5月30日星期六,答案,59,2020年5月30日星期六,在方程y+ay+by=f(x)中，当f(x)为上述几种形式相加时，可以用叠加原理确定特解的形式。定理(叠加原理)若y1是方程y+ay+by=f1(x)的解，y2是方程y+ay+by=f2(x)的解，则y1+y2是方程y+ay+by=f1(x)+f2(x)的解。由此定理可知，当f(x)为上述几种形式相加时，特解也应该是对应的形式相加。例求微分方程y+y=x2+cosx的通解。,解题过程,60,2020年5月30日星期六,7.5可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。对一般的高阶微分方程，没办法找到统一的解法。高阶常系数线性微分方程可用高阶常系数线性微分方程的求解方法求解，下面讨论其它几种高阶微分方程，思路是通过降阶化为较低阶的微分方程。一、y(n)=f(x)对这种方程，直接进行n次积分即可求得通解。例求微分方程y=xsinx的通解。练习求微分方程y=xlnx的通解。答案,解题过程,61,2020年5月30日星期六,二、y(n)=f(x,y(n-1)作变量代换z=y(n-1)，则原方程变为一阶微分方程：z=f(x,z)求出z后逐次积分即得到通解。例求微分方程y+y=x3的通解。三、y(n)=f(y,y(n-1)作变量代换z=y，下面把z看作y的函数，则有,62,2020年5月30日星期六,这时原方程化为y为自变量、z为因变量的未知函数的n-1阶微分方程(即达到了降阶的目的)。例求微分方程yy+(y)2=0的通解。,答案,2020年5月30日星期六,解微分方程y-2y=ex的对应齐次线性方程为y-2y=0其通解为y=Ce2x把其中的任意常数换成C(x)，设原方程的通解为y=C(x)e2x则y=C(x)e2x+2C(x)e2x，代入原方程得C(x)=ex，积分得C(x)=ex+C，因此原方程的通解为y=(ex+C)e2x,2020年5月30日星期六,解方程(x+1)y-ny=(x+1)n+1ex即其中因此原方程的通解为,2020年5月30日星期六,例把方程ydx+(x-2lny)dy=0写成,原方程的通解为,2020年5月30日星期六,例,对应的齐次,方程为,2020年5月30日星期六,解微分方程4y+4y-3y=0的特征方程为4r2+4r-3=0特征方程的解为因此原方程的通解为,2020年5月30日星期六,解微分方程y+y+9y=0的特征方程为r2+6r+9=0特征方程的解为r=-3因此原方程的通解为y=(C1+C2x)e-3x,2020年5月30日星期六,实数域内负数是没有平方根的(没有一个实数的平方等于负数)。由于分析和计算的需要，数学家们引进了虚数单位i，规定i2=-1，即对数值方程r2+ar+b=0，配方得当=a2-4b0。开放得到,由此得到方程的两个复述根：,2020年5月30日星期六,解微分方程y+4y+5y=0的特征方程为r2+4r+5=0特征方程的解为r=-2i因此原方程的通解为y=e-2x(C1cosx+C2sinx),2020年5月30日星期六,解对应齐次方程的特征方程为r2-3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2因此对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x。由f(x)=2x2-2x，设原方程的一个特解为y*=Ax2+Bx+C，代入原方程得2A-3(2Ax+B)+2(Ax2+Bx+C)=2x2-2x比较两边x的同次幂系数得：2A=2-6A+2B=-22A-3B+2C=0因此A=1，B=2，C=1。由此可得原方程的特解为y*=x2+2x+1。最后得原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+x2+2x+1,2020年5月30日星期六,解特征方程4r2-12r+9=0的解为r1=r2=3/2，则原方程对应的齐次方程的通解为f(x)=ex，设原方程的一个特解为y*=Aex，代入得4Aex-12Aex+9Aex=ex解得A=1，因此原方程的一个特解为y*=ex。原方程的的通解为,2020年5月30日星期六,解特征方程r2+2r-3=0的解为r1=-3，r2=1，则原方程对应的齐次方程的通解为y=C1e-3x+C2exf(x)=16xex，设原方程的一个特解为y*=x(Ax+B)ex，代入得Ax2+(4A+B)x+2A+2Bex+2Ax2+(2A+B)x+Bex-3(Ax2+Bx)ex=16xex解得A=2，B=-2，因此原方程的一个特解为y*=x(x-2)ex。原方程的的通解为y=C1e-3x+C2ex+x(x-2)ex,2020年5月30日星期六,解特征方程r2-2r+1=0的解为r1=r2=1，则原方程对应的齐次方程的通解为y=(C1+C2x)exf(x)=12xex，设原方程的一个特解为y*=x2(Ax+B)ex，代入得Ax3+(6A+B)x2+(6A+4B)x+2Bex-2Ax3+(3A+B)x2+2Bxex+(Ax3+Bx2)ex=12xex解得A=2，B=0，因此原方程的一个特解为y*=2x3ex。原方程的的通解为y=C1e-3x+C2ex+2x3ex,2020年5月30