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第五章导热问题的近似分析解法,积分法,近似分析解：,既有分析解的特征：得到的结果具有解析函数形式；,又有近似解特征：结果只能近似满足导热定解问题。,积分法：,积分解：是一个近似解，在求解区域内只是平均地满足；,精确解：由导热微分方程解得的精确解对求解区域中的每一点都满足。,积分法主要用于：稳态导热一维非稳态导热,积分法求解步骤：,根据物理问题写出数学描述；,建立导热积分方程：在导热区域内对导热微分方程进行积分，得到导热积分方程；,选取温度分布函数，由边界条件确定待定系数；,求解导热积分方程：把温度分布函数代入导热积分方程求解。,5-1二维稳态导热,qV,Tw,Tw,Tw,Tw,2a,2b,数学描述：,Tw,Tw,b,x,y,qV,a,0xa，0yb,x0,x=a,yb,y=0,引入过余温度：=T-Tw,O,数学描述：,Tw,Tw,b,x,y,qV,a,0xa，0yb,x0,x=a,yb,y=0,引入过余温度：=T-Tw,O,解：(1)建立导热积分方程,0xa，0yb,导热积分方程,解：(2)选取温度分布表达式(x,y),0xa，00,x=0,0,=0,x0,解：,（1）引入热层厚度（）,0时，在x0区域内出现导热。这一导热过程先是在x=0附近，而后向x0方向发展。在有限时间内，边界温度的变化对于区域温度场的影响只是在某一有限的范围内，把这个有限的范围定义为热层厚度。显然热层厚度是时间的函数：（）。热层厚度把整个半无限大区域的温度分布分成两个部分：,热层厚度的概念与边界层概念非常接近：,解：(2)建立导热积分方程,根据积分号下的微分规则：,T0,通过导热带给热层的能量,热层厚度增加所引起的能量增加,热层总的能量增加量,0,导热积分方程：,解：(3)假定温度分布T(x,),X(x)采用多项式,分离形式：,A,B,C,D,温度分布T(x,),(4)求解导热积分方程,代入导热积分方程：,(4)求解导热积分方程,说明：,温度函数中有一个单元函数()的形式是待定的，这样的温度函数已满足选定单元函数X(x)自变量的定值条件。康塔罗维奇法康塔罗维奇法适用稳态、非稳态导热问题。,轴对称与球对称,柱坐标T(r,)=(r的多项式)(lnr)球坐标T(r,)=,练习题,一半径r=b的圆柱形孔的外面区域，初始温度为零度；当时
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