大一-数学分析

1,医学高等数学,梁波lbmaths,2,引言,一、什么是高等数学?,初等数学,研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学,研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,3,4,创建微积分优先权的争论,牛顿从1665年到1687年把结果通知了他的朋友，特别是把他的短文分析学送给了巴罗，但他于1687年以前，并没有正式公开发表过微积分方面的任何工作。,5,创建微积分优先权的争论,虽然莱布尼茨于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。然而，他直到1684年才正式公开发表微积分的著作。于是就发生了莱布尼茨是否知道牛顿工作详情的问题。莱布尼茨被指责为剽窃者。,6,在这两个人死了很久以后，调查证明：虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很多启发。,创建微积分优先权的争论,7,这件事的结果是，英国的和大陆的数学家停止了思想交换。因为牛顿在微积分方面的主要工作是以几何为工具的，所以在他死后近一百年中，英国人继续以几何为主要工具研究微积分。而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法，使它发展并不断进行改善。这件事的影响非常巨大，它不仅使英国的数学家落在后面，而且使数学学科损失了一批最有才能的人所应作出的贡献。,创建微积分优先权的争论,8,接随着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先还是为了处理十七世纪主要的科学问题的。,9,哪些主要的科学问题呢?,有四种主要类型的问题.,Archimedes,10,第一类问题,已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。,11,困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0/0是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。,第一类问题,12,求曲线的切线。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。,第二类问题,13,第二类问题,困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。,14,第三类问题,求函数的最大最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。,15,困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。,第三类问题,16,第四类问题,求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。,17,困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。,第四类问题,18,1.分析基础:函数,极限,连续,2.微积分学:一元微积分,3.向量代数与空间解析几何,4.无穷级数,5.常微分方程,主要内容,多元微积分,19,20,二、如何学习高等数学?,1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.,2.学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习,天才在于积累.,学而优则用,学而优则创.,由薄到厚,由厚到薄.,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.,一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.,华罗庚,21,22,3.教学计划作业要求(平时成绩),3.1.1教学计划3.1.2基本教学计划共45学时(3学时/周)418周：,23,3.2.1平时成绩总评成绩=X平时成绩+Y期末（考试）成绩X+Y=1（0.1X0.3）3.2.2作业要求(作业情况将作为本课程成绩的组成部分)认真完成作业，教师随机抽查评分.具体要求:写作业本上;格式规范、字迹清晰;,3.2作业要求(平时成绩),24,3.2.3考勤要求(考勤情况将作为本课程成绩的组成部分)不迟到、不早退、不旷课。(2)请班长将班级名单于下周上课时交任课教师,25,3.3教材及参考书,3.3.1教材,中国科学院教材建设委员会规划教材全国高等医学院校规划教材医学高等数学重庆医科大学数学教研室编著科学出版社,26,3.3.2参考书,(1)高等数学(上、下册)(本科少学时类)主编：同济大学应用数学系；高等教育出版社.(2)微积分初步与生物医学应用主编：方积乾，北京医科大学出版社.(3)高等数学主编：同济大学数学教研室，高等教育出版社.(4)大学文科数学主编：张国楚等，高等教育出版社.(5)什么是数学编著：R柯朗、H罗宾复旦大学出版社；(英)人民邮电出版社.,1函数、极限与连续,研究的基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,28,1函数、极限与连续,1.1函数1.2初等函数1.3极限概念1.4极限的计算1.5无穷小量与无穷大量1.6函数的连续性,1.1函数,1.1.1区间及邻域1.1.2函数的定义1.1.3医学中常用的函数表示法1.1.4函数的性质,1.1.1区间及邻域,区间(interval),开区间,a,b,闭区间,a,b,半开半闭区间(a,b、a,b),以上区间统称为有限区间,无限区间(P.1自学),邻域,(neighborhood),邻域是一种特殊的区间。,点a的邻域,a,a-,a+,点a的空心邻域,a,a-,a+,右邻域(a,a+)，左邻域(a-,a),1.1.2函数的定义(function),设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个范围D内的每一个确定的值,按照某个对应法则f，y都有（唯一）确定的值与它对应，则称变量y是确定在D上的x的函数。,定义1.1,x：自变量x的取值范围D：定义域y：因变量(函数变量)函数值y的取值范围：值域，记为f(D),(function),记为：y=f(x)，xD,1.决定一个函数的因素有哪些？2.如何确定函数的定义域？,34,3.函数的表示法：表格法、图像法及公式法,函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图像法和公式法,35,36,37,38,1.1.3医学中常用的函数表示法,列表法用表格列示出x与y的对应关系。,图像法以数对(x,y)为点的坐标描绘出能反映x,解析法用等式表示出x与y的关系。,优点：便于查出函数值。,与y的对应关系的曲线。,优点：容易观察函数的变化趋势。,优点：便于从理论上对函数进行定性,研究与定量分析。,医学和物理学中常用的分段函数：,例1.1.1,符号函数,x,y,o,-1,1,例1.1.2,脉冲函数,x,o,y,例1.1.3,x,y,o,1.1.4函数的性质,奇偶性,设函数y=f(x)，xD，D是对称于原点的数集。若对D上任何x，如果f(x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数；如果f(x)=f(x)，则称y=f(x)为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。,单调性,设函数y=f(x)，xD。若对于D内任意两个x1，x2，当x1N2时,有,1.收敛数列的极限唯一.,使当nN1时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当nN时,故假设不真!,满足的不等式,67,2.收敛数列一定有界.,说明:此性质反过来不一定成立.,例如,虽有界但不收敛.,数列,1.3.2函数极限(limitoffunction),数列xn可表示成函数的形式：y=f(n),nNy=f(x),xN这时，自变量的变化趋势只有一种：x+而对一般的函数而言，y=f(x),xD自变量的变化趋势有两种情形：x+、x-、x;xx0,定义1.4(x趋于无穷大时函数f(x)的极限),设函数f(x)在区间(a,+)内有定义，A是某确定常数。若当x+时，f(x)与A的距离|f(x)-A|任意小，则称函数f(x)在x+时以常数A为极限，记为,或,并称x+时f(x)收敛(converge)；否则，称x+时f(x)发散(diverge)。,同理，可定义函数f(x)在x-时以常数A为极限：,70,定义.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线y=A为曲线,的水平渐近线,A为函数,71,直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.,两种特殊情况:,当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,定义1.5(x趋于x0时函数f(x)的极限),设函数f(x)在点x0附近有定义，A是某确定常数。若当自变量x趋于x0时，f(x)与A的距离|f(x)-A|任意小，则称函数f(x)在x趋于x0时以常数A为极限，记为,或,并称x趋于x0时f(x)收敛；否则，称x趋于x0时f(x)发散。,73,定义1.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数A为函数,当,时的极限,或,即,当,时,有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,说明：,函数极限的实质：考察当xx0时，函数f(x)的变化趋势：若xx0时函数f(x)收敛，则xx0时f(x)必定趋向于某一个确定的数；若xx0时函数f(x)发散，则xx0时f(x)不趋向于任何确定的数。“xx0”表示x从x0的两侧任意接近x0。但有时也需考虑x从x0的某一侧任意接近x0时，函数f(x)的极限情况。,75,1.3.3单侧极限(one-sidedlimit),定义1.6(单侧极限),设函数f(x)在区间(x0,x0+)内有定义，A是某确定常数。若x从x0的右侧趋于x0时，f(x)与A的距离|f(x)-A|任意小，则称函数f(x)在x趋于x0时以常数A为右极限(right-sidedlimit)，记为,或,同理，左极限：,(left-sidedlimit),76,例1.3.3,考察符号函数sgnx在x=0处的单侧极限。,解：,sgnx的图像如右图：,ox,y,1,-1,则右极限,左极限,x0时，sgnx的变化趋势如何？是否有极限？可得出什么结论？,77,定理1.1(单侧极限与一般极限的关系),当xx0时，函数f(x)极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即,or,78,例.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理3.,因为,显然,所以,不存在.,79,例.证明,证:,故,取,当,时,必有,因此,例1.3.2,不存在,不存在,不存在,不存在,x0时，,在1和1之间无限震荡。,问a为何值时，所给函数在x=2处极限存在?,例1.3.4,解：,左极限,右极限,欲使函数在x=2处有极限，必有,4+2a=20,a=8.,研究函数在xx0极限时，是否要考虑f(x)在x=x0时的性态？为什么？,若f(x0+0)和f(x0-0)都存在，当x趋于x0时，f(x)的极限一定存在吗？,如何利用f(x0+0)和f(x0-0)来判断当x趋于x0时，f(x)的极限不存在？,1.4极限的计算,1.4.1极限的四则运算法则1.4.2两个重要极限,1.4.1极限的四则运算法则,具体的运算法则见P.16定理。以下面几个例子来说明极限的运算法则:,定理1.2(极限的四则运算法则),则有,定理.若,定理.若,则有,定理.若,且B0,则有,86,例2.求,解:x=1时,分母=0,分子0,但因,例1求,解,87,例3.求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“抓大头”,原式,88,先用x3去除分子及分母然后取极限,解:,例4,例5,解,所以,89,一般有如下结果：,为非负常数),例1.4.1,例1.4.2,=-1,例1.4.3,91,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,92,3.求,解法1,原式=,解法2,令,则,原式=,93,4.试确定常数a使,解:,令,则,故,因此,1.4.2两个重要极限,两个重要极限是极限的证明及计算中的重要内容。重要极限及其变形也是各类考试的考点。,95,1.夹逼准则,补充极限存在的两个准则,96,圆扇形AOB的面积,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB的面积,AOD的面积,故有,注,97,当,时,注,例1.4.5,=-1,例1.4.6,=1,例1.4.4,=3,99,例.求,解:,例.求,解:令,则,因此,原式,例1.4.7,101,例.求,解:原式=,例.已知圆内接正n边形面积为,证明:,证:,说明:计算中注意利用,103,一.极限的四则运算法则,二.第二个重要极限,104,通常用字母,来表示这个极限，即,也可以证明，当,取实数而趋于,或,时，函数,的极限都存在且都等于,，即,利用变量代换，可得更一般的形式,105,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,106,1、证明,107,类似地,108,2.,证:当,时,设,则,109,当,则,从而有,故,说明:此极限也可写为,时,令,例1.4.9,例1.4.10,例1.4.8,111,例.求,解:原式=,112,例.求,解:令,则,因此,原式,且,113,例.求,解:原式=,1.5无穷小量与无穷大量,1.5.1无穷小量1.5.2无穷小量阶的比较1.5.3无穷大量,1.5.1无穷小量,如果,定义1.7(无穷小量),则称f(x)是xx0时的无穷小量(infinitesimal).,说明：,类似地，可定义在自变量的其它变化情形下的无穷小量：x，xx0+，xx0-，称以0为极限的数列为无穷小数列。,例1.5.1,因为,所以当x1时函数,x-1为无穷小量。,因为,所以当x时函数1/x,为无穷小量。,无穷小量是很小的数吗？,数零是不是无穷小量？,117,其中为,时的无穷小量.,定理.(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,无穷小的性质,当xx0时，如果f(x)、g(x)均为无穷小，则当xx0时，有:,f(x)g(x)为无穷小。推广：有限个无穷小的代数和是无穷小。,有界变量(常量、无穷小量)与无穷小的积是无穷小。,两个无穷小的和、差与积仍是无穷小。两个无穷小的商呢？,如：x0时，3x、x2、sinx都是无穷小，但,1.5.2无穷小量阶的比较,对无穷小量进行阶的比较是为了考察两个无穷小量趋于0的速度。,设f(x)、g(x)为xx0时的无穷小，如果,则称xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小；,则称xx0时，f(x)是比g(x)低阶的无穷小；,记为：f(x)=o(g(x)(xx0),则称xx0时，f(x)与g(x)是同阶的无穷小。,特别地，当k=1时，称f(x)与g(x)是等价无穷小。,记为：f(x)=O(g(x)(xx0),记为：f(x)g(x)(xx0),121,例如,当,时,又如，,故,时,是关于x的二阶无穷小,且,例1.5.2,因为,所以，当x0时，x2是比3x高阶的无穷小量,即x2=o(3x)(x0),又,则当x3时,x2-9是与x-3同阶的无穷小量，,x2-9=O(x-3)(x3),例1.5.3,当x0时，a取何值使得,解：,要使,必须,a=2,扩展：,定理,设,且,存在，,则,在求极限中的应用：,例1.5.4,求,解：,当,时，,sinxx,故,P.24例3,125,例1.求,解:,原式,例2.求,解:,1.5.2无穷大量,定义1.8(无穷大量),如果,则称函数变量f(x)是,xx0时的无穷大量(infinitelygreat)。,说明：,不可将无穷大()与很大的数混为一谈；无穷大数列；无穷大与无穷小的关系。,1.6函数的连续性,1.6.1连续的概念1.6.2函数的间断点1.6.3连续函数的性质与初等函数的连续性,1.6.1连续的概念,变量的增量(increment),函数的连续性,定义1.9(函数的连续性定义1),设y=f(x)在x0的某邻域内有定义。自变量的增量x=x-x0,函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)。,则称函数y=f(x)在x0处连续。,(continuityoffunction),x0,f(x0),x0+x,f(x0+x),y,f(x),若,例1.6.1,证明y=sinx在点x(-,+)连续。,证明：,由定义1.9知,y=sinx在任意点x(-,+)连续，称sinx在区间(-,+)内是连续的。,类似地,y=cosx在区间(-,+)内是连续的。,130,例1.6.2,证明在点x(-,+)连续。,证明：,由定义1.9知,在任意点x(-,+)连续，称在区间(-,+)内是连续的。,定义1.10(函数的连续性定义2),说明：,(1)函数y=f(x)在点x0及附近有定义；,几何意义：,定义要点：,函数曲线在x=x0处是“连”着的。,在求极限中的应用：,(2)函数y=f(x)在点x0处极限存在；,(3)函数y=f(x)在点x0处极限值等于函数值f(x0),即：,求连续函数的极限时,极限符号与连续函数符号可以交换顺序。因此，只要求出函数值即可。,定义1.11(函数的左、右连续性),设函数y=f(x)在区间(x0-,x0内有定义，如果f(x0)=f(x0-0)，则称函数在点x0左连续。,同理，可定义右连续。,x,y,x0,x,y,x0,定理1.3(连续的充分必要条件),左连续,右连续,定义1.12(函数在区间内(上)连续),如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续，则称y=f(x)在开区间(a,b)内连续。如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续，且在区间左端点a右连续，在区间右端点b左连续，则称y=f(x)在闭区间a,b上连续。,说明：,区间内(上)的连续函数的图像是一条没有间断的曲线。,134,x,y,A,B,1.6.2函数的间断点,函数的间断点：,如果函数y=f(x)在点x0不连续，则称点x0为函数y=f(x)的间断点(pointofdiscontinuity)。,怎样判断点x0为函数y=f(x)的间断点：,(1)函数在点x0是否有定义；,(2)函数在点x0处的左、右极限均是否存在并相等；,(3)函数在点x0处的极限值是否等于该点的函数值。,函数间断点的分类：,间断点分为两类。,第一类间断点：,设x0为函数y=f(x)的间断点，如果f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在(不论f(x)在x0处是否有定义)，则称x0是f(x)的第一类间断点,x,y,x0,x,y,x0,第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点,可去间断点,跳跃间断点,x,y,x0,137,显然,为其可去间断点.,为其跳跃间断点.,第二类间断点：,除第一类间断点以外的其它间断点统称为第二类间断点。,常见的有无穷间断点和振荡间断点。,例1.6.4,考察下列函数在x=0处的间断情况：,x=0为振荡间断点,为无穷间断点,139,1.求,的间断点,并判别其类型.,解:,x=1为第一类可去间断点,x=1为第二类无穷间断点,x=0为第一类跳跃间断点,140,2.求,的间断点,并判别其类型.,解:,由已知，间断点是：,为第二类无穷间断点,x=0为第一类可去间断点,所以是第一类的可去间断点,1.6.3连续函数的性质与初等函数的连续性,定理1.4(连续函数四则运算的连续性),在区间I上连续的函数的和、差、积与商(分母不为零)，在区间I上仍是连续的。,定理1.5(复合函数的连续性),由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。,由sin